Uma barra vazada, tendo a seção transversal indicada, é feita por uma lâmina metálica de 3,2 mm de espessura. Sabe-se que um torque de 339 N.m será aplicado à barra. Determinar a menor dimensão d que pode ser usada, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda a 3,45 MPa.

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma barra vazada feita de uma lâmina metálica com espessura de 3,2 mm. Essa barra vai receber um torque de 339 N.m e queremos descobrir qual é a menor dimensão d que podemos usar para que a tensão de cisalhamento não passe de 3,45 MPa.
Aqui, estamos lidando com o cálculo de tensão de cisalhamento em uma barra submetida a torque. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da tensão de cisalhamento em uma seção transversal submetida a torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da tensão de cisalhamento ( tau = T cdot rJ ) em relação ao torque ( ) aplicado:
Onde:
  • é a tensão de cisalhamento
  • é o torque aplicado
  • é a distância do centro até a fibra onde a tensão é calculada
  • é o momento polar de inércia da seção transversal
Nosso objetivo é encontrar a menor dimensão , que geralmente representa o diâmetro externo da barra, de modo que não exceda 3,45 MPa.

Passo 3

Vamos considerar que a barra é circularmente vazada, ou seja, é um cilindro oco. Para esse tipo de seção, o momento polar de inércia ( J = pi32 ( do^4 - di^4 ) ) é dado por:
do = di + 2t
Onde:
  • é o diâmetro externo
  • é o diâmetro interno
Sabemos que a espessura da lâmina ( ) é de 3,2 mm, então podemos relacionar e da seguinte forma:
Como queremos a menor dimensão possível, vamos assumir que a espessura é pequena em relação ao diâmetro, e portanto, podemos aproximar simplificando para quando a barra é fina.

Passo 4

Para uma barreira vazada fina (quando a espessura J approx pi d^3 t2 é pequena em comparação com o diâmetro), o momento polar de inércia pode ser aproximado por:
tau = T cdot rJ implies tau = T cdot d2pi d^3 t2 = Tpi d^2 t2 = 2Tpi d^2 t
Aqui, é o diâmetro externo e é a espessura da lâmina.
Agora, vamos reorganizar a fórmula da tensão de cisalhamento para resolver :

Passo 5

Agora, isolando tau = 2Tpi d^2 t implies d^2 = 2Tpi t tau implies d = raiz2Tpi t tau , temos:
Vamos agora substituir os valores conhecidos:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = raiz2 times 339pi times 0,0032 times 3,45 times 10^6 = raiz678pi times 0,0032 times 3,45 times 10^6
Vamos calcular o denominador primeiro:
pi times 0,0032 times 3,45 times 10^6 approx 3,1416 times 0,0032 times 3,45 times 10^6 approx 34,79 times 10^3
Agora, dividimos 678 por 34,79 67834,79 times 10^3 approx 0,0195 10³:
d = raiz0,0195 approx 0,1396 , m approx 139,6 , mm
Agora, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

A menor dimensão que pode ser usada é aproximadamente 140 mm.

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