Uma barra vazada, tendo a seção transversal indicada, é feita por uma lâmina metálica de 3,2 mm de espessura. Sabe-se que um torque de 339 N.m será aplicado à barra. Determinar a menor dimensão
que pode ser usada, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda a
.
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma barra vazada feita de uma lâmina metálica com espessura de 3,2 mm. Essa barra vai receber um torque de 339 N.m e queremos descobrir qual é a menor dimensão d que podemos usar para que a tensão de cisalhamento não passe de 3,45 MPa.
Aqui, estamos lidando com o cálculo de tensão de cisalhamento em uma barra submetida a torque. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da tensão de cisalhamento em uma seção transversal submetida a torque.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da tensão de cisalhamento (
) em relação ao torque (
) aplicado:
Onde:
-
é a tensão de cisalhamento -
é o torque aplicado -
é a distância do centro até a fibra onde a tensão é calculada -
é o momento polar de inércia da seção transversal
Nosso objetivo é encontrar a menor dimensão
, que geralmente representa o diâmetro externo da barra, de modo que
não exceda 3,45 MPa.
Passo 3
Vamos considerar que a barra é circularmente vazada, ou seja, é um cilindro oco. Para esse tipo de seção, o momento polar de inércia (
) é dado por:
Onde:
-
é o diâmetro externo -
é o diâmetro interno
Sabemos que a espessura da lâmina (
) é de 3,2 mm, então podemos relacionar
e
da seguinte forma:
Como queremos a menor dimensão possível, vamos assumir que a espessura é pequena em relação ao diâmetro, e portanto, podemos aproximar
simplificando para quando a barra é fina.
Passo 4
Para uma barreira vazada fina (quando a espessura
é pequena em comparação com o diâmetro), o momento polar de inércia pode ser aproximado por:
Aqui,
é o diâmetro externo e
é a espessura da lâmina.
Agora, vamos reorganizar a fórmula da tensão de cisalhamento para resolver
:
Passo 5
Agora, isolando
, temos:
Vamos agora substituir os valores conhecidos:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, dividimos 678 por 34,79
10³:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A menor dimensão
que pode ser usada é aproximadamente 140 mm.