Uma bola de massa
está presa na extremidade de uma haste fina de comprimento
e massa desprezível. A haste é puxada lateralmente até fazer um ângulo
com a vertical e então é solta a partir do repouso. Se a velocidade da bola no ponto mais baixo da circunferência é
, determine o trabalho realizado pela força gravitacional desde que a bola é liberada até ela atingir o ponto mais baixo da circunferência. (Lembre-se que a força gravitacional é uma força conservativa).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de massa $ m = 4.7, kg $ presa a uma haste de comprimento $ L = 1.4, m $. A haste é puxada até formar um ângulo $ \theta $ com a vertical e depois solta. Queremos descobrir o trabalho que a força da gravidade realiza desde que a bola é liberada até ela chegar ao ponto mais baixo. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de trabalho, energia potencial gravitacional e energia cinética.
Passo 2
Quando a haste é puxada para o lado e forma um ângulo $ \theta $ com a vertical, a bola está em uma posição mais alta. Essa diferença de altura cria uma energia potencial gravitacional que vai se transformar em energia cinética quando a bola desce. O trabalho realizado pela gravidade é justamente essa transformação de energia potencial em energia cinética.
Passo 3
Vamos calcular a altura $ h $ que a bola desceu. Quando a haste está inclinada em $ \theta $, a altura inicial da bola em relação ao ponto mais baixo é:
Isso porque $ L \cos(\theta) $ é a componente vertical da haste quando inclinada.
Passo 4
A energia potencial gravitacional inicial da bola quando está no topo é dada por:
Substituindo $ h $ da etapa anterior:
Como a bola parte do repouso, toda essa energia se transforma em energia cinética no ponto mais baixo.
Passo 5
O trabalho realizado pela força gravitacional é igual à mudança na energia potencial, que no caso é:
Portanto, o trabalho realizado por essa força desde que a bola é solta até atingir o ponto mais baixo é $ mgL(1 - \cos(\theta)) $.
Resposta
O trabalho realizado pela força gravitacional é: