Uma barra de chumbo (k=35,3 W /(mK) ) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre ( k=401 W /(mK) ) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a 120^circ C, e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a 15^circ C. Calcular a temperatura na junção entre as duas barras e a taxa total de transferência de calor.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas barras, uma de chumbo e outra de cobre, unidas pelas extremidades. A barra de chumbo tem 15 cm de comprimento e condutividade térmica . A barra de cobre tem 25 cm de comprimento e condutividade térmica . Ambas têm uma seção transversal quadrada com lados de 12 mm. As extremidades das barras estão presas a paredes com temperaturas de (chumbo) e (cobre). Queremos descobrir:
  1. A temperatura na junção entre as duas barras.
  2. A taxa total de transferência de calor.
Vamos precisar usar a Lei de Fourier da condução de calor, que nos ajuda a calcular o fluxo de calor através de materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades do SI para facilitar os cálculos:
  • Comprimento do chumbo:
  • Comprimento do cobre:
  • Lado da seção transversal:
  • Área da seção transversal:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como a Lei de Fourier funciona. Ela diz que a taxa de transferência de calor dotQ = k cdot A cdot De por condução é dada por:
Onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento do material.
Como as barras estão unidas em uma junção e o sistema está em regime estacionário (temperaturas constantes no tempo), a taxa de calor que passa pela barra de chumbo é igual à que passa pela barra de cobre.

Passo 4

Vamos chamar a temperatura na junção de dotQ = kchumbo cdot A cdot (Tchumbo - T)Lchumbo . Temos duas equações, uma para cada barra:
Para o chumbo:
dotQ = kcobre cdot A cdot (T - Tcobre)Lcobre
Para o cobre:
kchumbo cdot A cdot (Tchumbo - T)Lchumbo = kcobre cdot A cdot (T - Tcobre)Lcobre
Como kchumbo cdot (Tchumbo - T)Lchumbo = kcobre cdot (T - Tcobre)Lcobre é a mesma nas duas barras, podemos igualar as duas expressões:
Podemos simplificar de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos:
  • 35,3 cdot (120 - T)0,15 = 401 cdot (T - 15)0,25
Substituindo na equação:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar 35,3 cdot (120 - T) cdot 0,25 = 401 cdot (T - 15) cdot 0,15 .
Primeiro, multiplicamos ambos os lados pelas denominadores para eliminar as frações:
35,3 times 0,25 = 8,825
Calculando os produtos:
401 times 0,15 = 60,15
8,825 cdot (120 - T) = 60,15 cdot (T - 15)
Então:
8,825 times 120 - 8,825 T = 60,15 T - 60,15 times 15
Expandindo os parênteses:
8,825 times 120 = 1.059
Calculando:
60,15 times 15 = 902,25
1.059 - 8,825 T = 60,15 T - 902,25
Então:

Passo 7

Vamos juntar os termos com 1.059 + 902,25 = 60,15 T + 8,825 T de um lado e os constantes do outro:
903,309 (1.059 + 902,25) = 68,975 T (60,15 + 8,825)
Somando:
1.96125 = 68,975 T
Megutando:
T = 1.9612568,975 approx 28,45^circ C
Finalmente, resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos a temperatura na junção, podemos calcular a taxa total de transferência de calor usando uma das equações iniciais. Vamos usar a do cobre:
dotQ = 401 cdot 1,44 times 10^-4 cdot (28,45 - 15)0,25
Calculando:
De
dotQ = 401 times 1,44 times 10^-4 times 13,450,25 approx 0,313 , W

Resposta

A temperatura na junção entre as duas barras é aproximadamente e a taxa total de transferência de calor é cerca de .

Exercícios relacionados