Uma barra de chumbo ) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre ( ) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a , e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a . Calcular a temperatura na junção entre as duas barras e a taxa total de transferência de calor.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas barras, uma de chumbo e outra de cobre, unidas pelas extremidades. A barra de chumbo tem 15 cm de comprimento e condutividade térmica . A barra de cobre tem 25 cm de comprimento e condutividade térmica . Ambas têm uma seção transversal quadrada com lados de 12 mm. As extremidades das barras estão presas a paredes com temperaturas de (chumbo) e (cobre). Queremos descobrir:
  1. A temperatura na junção entre as duas barras.
  2. A taxa total de transferência de calor.
Vamos precisar usar a Lei de Fourier da condução de calor, que nos ajuda a calcular o fluxo de calor através de materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades do SI para facilitar os cálculos:
  • Comprimento do chumbo:
  • Comprimento do cobre:
  • Lado da seção transversal:
  • Área da seção transversal:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como a Lei de Fourier funciona. Ela diz que a taxa de transferência de calor por condução é dada por:
Onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento do material.
Como as barras estão unidas em uma junção e o sistema está em regime estacionário (temperaturas constantes no tempo), a taxa de calor que passa pela barra de chumbo é igual à que passa pela barra de cobre.

Passo 4

Vamos chamar a temperatura na junção de . Temos duas equações, uma para cada barra:
Para o chumbo:
Para o cobre:
Como é a mesma nas duas barras, podemos igualar as duas expressões:
Podemos simplificar de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos:
Substituindo na equação:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar .
Primeiro, multiplicamos ambos os lados pelas denominadores para eliminar as frações:
Calculando os produtos:
Então:
Expandindo os parênteses:
Calculando:
Então:

Passo 7

Vamos juntar os termos com de um lado e os constantes do outro:
Somando:
Megutando:
Finalmente, resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos a temperatura na junção, podemos calcular a taxa total de transferência de calor usando uma das equações iniciais. Vamos usar a do cobre:
Calculando:

Resposta

A temperatura na junção entre as duas barras é aproximadamente e a taxa total de transferência de calor é cerca de .

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