Uma barra de chumbo
) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre (
) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a
, e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a
. Calcular a temperatura na junção entre as duas barras e a taxa total de transferência de calor.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas barras, uma de chumbo e outra de cobre, unidas pelas extremidades. A barra de chumbo tem 15 cm de comprimento e condutividade térmica
. A barra de cobre tem 25 cm de comprimento e condutividade térmica
. Ambas têm uma seção transversal quadrada com lados de 12 mm. As extremidades das barras estão presas a paredes com temperaturas de
(chumbo) e
(cobre). Queremos descobrir:
- A temperatura na junção entre as duas barras.
- A taxa total de transferência de calor.
Vamos precisar usar a Lei de Fourier da condução de calor, que nos ajuda a calcular o fluxo de calor através de materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades do SI para facilitar os cálculos:
- Comprimento do chumbo:
- Comprimento do cobre:
- Lado da seção transversal:
- Área da seção transversal:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como a Lei de Fourier funciona. Ela diz que a taxa de transferência de calor
por condução é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica do material, -
é a área da seção transversal, -
é a diferença de temperatura, -
é o comprimento do material.
Como as barras estão unidas em uma junção e o sistema está em regime estacionário (temperaturas constantes no tempo), a taxa de calor que passa pela barra de chumbo é igual à que passa pela barra de cobre.
Passo 4
Vamos chamar a temperatura na junção de
. Temos duas equações, uma para cada barra:
Para o chumbo:
Para o cobre:
Como
é a mesma nas duas barras, podemos igualar as duas expressões:
Podemos simplificar
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Substituindo na equação:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Primeiro, multiplicamos ambos os lados pelas denominadores para eliminar as frações:
Calculando os produtos:
Então:
Expandindo os parênteses:
Calculando:
Então:
Passo 7
Vamos juntar os termos com
de um lado e os constantes do outro:
Somando:
Megutando:
Finalmente, resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos a temperatura na junção, podemos calcular a taxa total de transferência de calor usando uma das equações iniciais. Vamos usar a do cobre:
Calculando:
Resposta
A temperatura na junção entre as duas barras é aproximadamente
e a taxa total de transferência de calor é cerca de
.
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