Uma barra de chumbo (
) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre (
) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a
, e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a
. Calcular a temperatura na junção entre as duas barras e a taxa total de transferência de calor.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que a gente precisa para resolver. A gente tem duas barras de materiais diferentes: uma de chumbo e outra de cobre. Elas estão conectadas e fixadas em temperaturas diferentes nas extremidades. A pergunta é duas coisas: qual a temperatura no ponto onde as duas barras se encontram e qual a quantidade de calor que está passando por essas barras.
Para resolver isso, vamos usar o escalonamento de calor por condução, que faz parte da termodinâmica. Vamos precisar das condutividades térmicas dos materiais, dos comprimentos das barras, da área da seção transversal e das temperaturas nas extremidades. Também vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Fourier, que diz que a taxa de transferência de calor
por condução através de um material é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica do material, -
é a área da seção transversal, -
é a diferença de temperatura, -
é o comprimento do material.
Como as duas barras estão conectadas em série e em regime permanente, a taxa de calor que passa pelo chumbo é igual à que passa pelo cobre.
Passo 3
Vamos chamar a temperatura na junção das duas barras de
. Temos então duas equações:
Para a barra de chumbo:
Para a barra de cobre:
Como
é a mesma nas duas equações, podemos igualar as duas expressões:
Passo 4
Note que a área
aparece dos dois lados e, portanto, pode ser simplificada. Vamos isolar
:
Distribuindo os termos:
Vamos reunir os termos com
de um lado:
Finalmente, isolando
:
Passo 5
Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
Substituindo:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos a temperatura na junção (
), vamos calcular a taxa total de transferência de calor usando uma das equações iniciais. Vamos usar a do chumbo:
Primeiro, encontramos a área
. As barras têm se��ão quadrada com lados de 12 mm (0,012 m):
Substituindo:
Calculando passo a passo:
Resposta
A temperatura na junção entre as duas barras é aproximadamente
e a taxa total de transferência de calor é de
.
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