Uma barra de chumbo ( k=35,3 W /(mK) ) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre ( k=401 W /(mK) ) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a 120^circ C, e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a 15^circ C. Calcular a temperatura na junção entre as duas barras e a taxa total de transferência de calor.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que a gente precisa para resolver. A gente tem duas barras de materiais diferentes: uma de chumbo e outra de cobre. Elas estão conectadas e fixadas em temperaturas diferentes nas extremidades. A pergunta é duas coisas: qual a temperatura no ponto onde as duas barras se encontram e qual a quantidade de calor que está passando por essas barras.
Para resolver isso, vamos usar o escalonamento de calor por condução, que faz parte da termodinâmica. Vamos precisar das condutividades térmicas dos materiais, dos comprimentos das barras, da área da seção transversal e das temperaturas nas extremidades. Também vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Fourier, que diz que a taxa de transferência de calor dotQ = k cdot A cdot De por condução através de um material é dada por:
Onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento do material.
Como as duas barras estão conectadas em série e em regime permanente, a taxa de calor que passa pelo chumbo é igual à que passa pelo cobre.

Passo 3

Vamos chamar a temperatura na junção das duas barras de dotQ = kchumbo cdot A cdot (T1 - Tj)Lchumbo . Temos então duas equações:
Para a barra de chumbo:
dotQ = kcobre cdot A cdot (Tj - T2)Lcobre
Para a barra de cobre:
kchumbo cdot A cdot (T1 - Tj)Lchumbo = kcobre cdot A cdot (Tj - T2)Lcobre
Como é a mesma nas duas equações, podemos igualar as duas expressões:

Passo 4

Note que a área kchumbo cdot (T1 - Tj) cdot Lcobre = kcobre cdot (Tj - T2) cdot Lchumbo aparece dos dois lados e, portanto, pode ser simplificada. Vamos isolar kchumbo cdot T1 cdot Lcobre - kchumbo cdot Tj cdot Lcobre = kcobre cdot Tj cdot Lchumbo - kcobre cdot T2 cdot Lchumbo :
kchumbo cdot T1 cdot Lcobre + kcobre cdot T2 cdot Lchumbo = Tj cdot (kchumbo cdot Lcobre + kcobre cdot Lchumbo)
Distribuindo os termos:
Tj = kchumbo cdot T1 cdot Lcobre + kcobre cdot T2 cdot Lchumbokchumbo cdot Lcobre + kcobre cdot Lchumbo
Vamos reunir os termos com de um lado:
Finalmente, isolando :

Passo 5

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
  • Tj = 35,3 cdot 120 cdot 0,25 + 401 cdot 15 cdot 0,1535,3 cdot 0,25 + 401 cdot 0,15
  • 35,3 cdot 120 cdot 0,25 = 1059 , W/K
  • 401 cdot 15 cdot 0,15 = 901, 5 , W/K
  • 1059 + 901,5 = 1960,5 , W/K
  • 35,3 cdot 0,25 = 8,825 , W/K
  • 401 cdot 0,15 = 60,15 , W/K
Substituindo:
8,825 + 60,15 = 68,975 , W/K
Calculando o numerador:
Tj = 1960,568,975 approx 28,43^circC
Calculando o denominador:
Portanto:

Passo 6

Agora que temos a temperatura na junção ( dotQ = 35,3 cdot A cdot (120 - 28,43)0,15 ), vamos calcular a taxa total de transferência de calor usando uma das equações iniciais. Vamos usar a do chumbo:
A = (0,012)^2 = 0,000144 , m^2
Primeiro, encontramos a área dotQ = 35,3 cdot 0,000144 cdot (91,57)0,15 . As barras têm se��ão quadrada com lados de 12 mm (0,012 m):
35,3 cdot 0,000144 = 0,0050832 , W/K
Substituindo:
0,0050832 cdot 91,57 = 0,465 , W
Calculando passo a passo:
0,4650,15 = 3,10 , W

Resposta

A temperatura na junção entre as duas barras é aproximadamente e a taxa total de transferência de calor é de .

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