Uma piscina é drenada usando-se uma mangueira com 25 mm de diâmetro interno e 30 m de comprimento. A rugosidade da superfície interna da mangueira é igual a . A extremidade livre da mangueira está localizada a 3 m da elevação do fundo da piscina. Considerando que a profundidade da piscina é de , estime a vazão volumétrica em . A única perda menor a ser considerada é na entrada da mangueira. Admita e Pa.s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Hidráulica onde uma piscina de 1,5 metros de profundidade está sendo drenada usando uma mangueira. O diâmetro interno da mangueira é de 25 mm, com 30 metros de comprimento e uma rugosidade interna de 0,2 mm. A extremidade livre da mangueira está a 3 metros acima do fundo da piscina. Precisamos encontrar a vazão volumétrica em metro cúbico por segundo ( ).
Para resolver isso, vamos usar a equação de Bernoulli, considerar as perdas de carga devido à fricção na mangueira e a perda menor na entrada da mangueira. Os principais conceitos que vamos precisar são:
  • Equação de Bernoulli: Relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes de um fluido.
  • Número de Reynolds ( ): Indica se o fluxo é laminar ou turbulento.
  • Perda de carga por atrito ( ): Depende da rugosidade da mangueira e do comprimento.
  • Perda menor ( ): Perda de energia devido a mudanças de direção ou entrada/saída do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros conhecidos:
  • Diâmetro interno da mangueira,
  • Comprimento da mangueira,
  • Rugosidade interna,
  • Altura da extremidade da mangueira em relação ao fundo,
  • Profundidade da piscina,
  • Perda menor na entrada,
  • Densidade da água,
  • Viscosidade dinâmica da água,
  • Aceleração da gravidade,

Passo 3

Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre o ponto no fundo da piscina (ponto 1) e a extremidade da mangueira (ponto 2). A equação de Bernoulli é:
Onde:
  • é a pressão,
  • é a velocidade do fluido,
  • é a altura,
  • são as perdas por atrito,
  • são as perdas menores.
Assumindo que a pressão na superfície da água e na extremidade da mangueira são atmosféricas, podemos simplificar , e os termos de pressão se cancelam:

Passo 4

Como a área da piscina é muito maior que a da mangueira, a velocidade da água na piscina ( ) é praticamente zero. Assim, a equação fica:
Vamos agora expressar as perdas de carga e .
A perda de carga por atrito na mangueira é dada por:
E a perda menor na entrada da mangueira é:

Passo 5

Substituindo e na equação de Bernoulli:
Fatorando :
Isolando :

Passo 6

Agora, precisamos determinar o fator de atrito . Para isso, usamos o Número de Reynolds ( ):
Dependendo do , podemos determinar se o fluxo é laminar ou turbulento. Geralmente, para mangueiras, o fluxo é turbulento, e usamos a fórmula de Colebrook para calcular :
Isso é complexo de resolver diretamente, então podemos usar uma aproximação ou iterar numericamente.

Passo 7

Para simplificar, vamos usar a fórmula de Swamee-Jain para calcular :
Primeiro, precisamos expressar em termos de :
Substituindo isso na equação de :
Isso ainda é complexo, então vamos aproximar iterativamente. Mas para facilitar, vamos assumir inicialmente um valor de , calcular , recalcular , e ajustar até convergir.

Passo 8

Vamos reorganizar a equação de Bernoulli para encontrar :
Substituindo os valores conhecidos:
Primeira aproximação com :
Calculando:
O resultado negativo indica que o ponto 2 está acima do ponto 1, o que faz sentido. Vamos considerar o módulo:

Passo 9

Agora, calculamos o Número de Reynolds com :
Com , que é maior que 4000, o fluxo é turbulento. Vamos recalcular usando a fórmula de Swamee-Jain:
Calculando cada parte:

Passo 10

Com , recalculamos a velocidade :
Calculamos novamente :
Repetimos o cálculo de :
Calculando:
Próxima iteração com :
Calculando novamente:
Recalculando :
Vemos que o valor de está estável, então podemos parar aqui.

Resposta

A vazão volumétrica estimada é aproximadamente .

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