Uma barra cilíndrica é aquecida a 1100°F(T0). Em seguida, ela é exposta a uma corrente de ar a 100^F(T_AR). Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia com o tempo (em minutos) de acordo com a função:
T(t)=(T0- TAR) 10^(-t / 12)+ TAR
a) Determine o tempo gasto para que a temperatura nesse ponto atinja 700 °F.
b) Determine a temperatura exata para t = 0 e t = 12 minutos.
c) Usando os pontos dos itens a) e b), esboce o gráfico de T(t) para t em [0, 20].

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra cilíndrica aquecida a e depois exposta a ar a . A temperatura no centro da barra muda com o tempo segundo a função:
Aqui, é a temperatura inicial, é a temperatura do ar, e é o tempo em minutos. Vamos resolver as três partes do exercício usando conceitos de equações exponenciais e funções de temperatura.

Passo 2

Parte a) Queremos descobrir quanto tempo leva para a temperatura no centro da barra atingir . Vamos usar a função fornecida:
Primeiro, vamos simplificar a equação:
Subtraindo 100 de ambos os lados:
Dividindo por 1000:
Para resolver para , vamos usar logaritmos. Lembre-se que :
Multiplicando ambos os lados por -12:
Calculando isso:

Passo 3

Parte b) Queremos determinar a temperatura exata no tempo e minutos usando a função dada.
Para :
Para :

Passo 4

Parte c) Vamos esboçar o gráfico de para minutos usando os pontos que já encontramos.
Sabemos que:
  • Em ,
  • Em ,
  • Em ,
A função é uma decaída exponencial, o que significa que a temperatura diminui rapidamente no início e depois desacelera à medida que se aproxima da temperatura do ar ( ).
Para esboçar:
  1. Plote os pontos , , e .
  2. Desenhe uma curva que começa no ponto mais alto , desce rapidamente até por volta de minutos, continua descendo até aos 12 minutos, e se aproxima de conforme chega a 20 minutos.

Resposta

O gráfico de para minutos apresenta uma curva decrescente exponencial, começando em no , passando por em aproximadamente minutos, chegando a aos 12 minutos e continuando a se aproximar de até os 20 minutos.

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