Uma barra cilíndrica é aquecida a
. Em seguida, ela é exposta a uma corrente de ar a
. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia com o tempo (em minutos) de acordo com a função:
a) Determine o tempo gasto para que a temperatura nesse ponto atinja
.
b) Determine a temperatura exata para
e
minutos.
c) Usando os pontos dos itens a) e b), esboce o gráfico de
para
.
b) Determine a temperatura exata para
c) Usando os pontos dos itens a) e b), esboce o gráfico de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra cilíndrica aquecida a
e depois exposta a ar a
. A temperatura no centro da barra muda com o tempo segundo a função:
Aqui,
é a temperatura inicial,
é a temperatura do ar, e
é o tempo em minutos. Vamos resolver as três partes do exercício usando conceitos de equações exponenciais e funções de temperatura.
Passo 2
Parte a) Queremos descobrir quanto tempo leva para a temperatura no centro da barra atingir
. Vamos usar a função fornecida:
Primeiro, vamos simplificar a equação:
Subtraindo 100 de ambos os lados:
Dividindo por 1000:
Para resolver para
, vamos usar logaritmos. Lembre-se que
:
Multiplicando ambos os lados por -12:
Calculando isso:
Passo 3
Parte b) Queremos determinar a temperatura exata no tempo
e
minutos usando a função dada.
Para
:
Para
:
Passo 4
Parte c) Vamos esboçar o gráfico de
para
minutos usando os pontos que já encontramos.
Sabemos que:
- Em
, - Em
, - Em
,
A função
é uma decaída exponencial, o que significa que a temperatura diminui rapidamente no início e depois desacelera à medida que se aproxima da temperatura do ar (
).
Para esboçar:
- Plote os pontos
, , e . - Desenhe uma curva que começa no ponto mais alto
, desce rapidamente até por volta de minutos, continua descendo até aos 12 minutos, e se aproxima de conforme chega a 20 minutos.
Resposta
O gráfico de
para
minutos apresenta uma curva decrescente exponencial, começando em
no
, passando por
em aproximadamente
minutos, chegando a
aos 12 minutos e continuando a se aproximar de
até os 20 minutos.