Mostre que cos^4(x) - sen^4(x) = cos(2x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos que . Esse problema está relacionado com trigonometria, especificamente com as identidades trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar algumas fórmulas de potências e identidades trigonométricas de ângulos duplos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão . Perceba que isso se parece com uma diferença de quadrados, que na matemática é uma forma que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Aqui, podemos considerar e .

Passo 3

Aplicando a fórmula da diferença de quadrados, temos:

Passo 4

Sabemos que , que é uma das identidades trigonométricas fundamentais. Então, podemos simplificar a expressão:

Passo 5

Agora, lembraremos da identidade do ângulo duplo para o cosseno:
Comparando com a expressão que obtivemos, vemos que:

Resposta

Portanto, mostramos que é igual a .

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