Para cada uma das funções dadas determine
, determine a equação da reta tangente no ponto
do gráfico de
e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos a função
e o ponto
. O que a gente precisa fazer é:
- Encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. - Determinar a equação da reta tangente à curva de
no ponto . - Encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo, como derivadas e equações de retas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A regra básica para derivar é:
Aplicando isso na nossa função:
Calculando cada termo:
Então, a derivada é
.
Passo 3
Agora, vamos achar a equação da reta tangente no ponto
. A fórmula da reta tangente é:
Onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação da reta nesse ponto.
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, sabemos que a inclinação da reta tangente é 1 e o ponto é (-1, 0). Substituindo na fórmula:
Então, a equação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação igual a zero. Então, queremos saber para quais valores de
a derivada
é igual a zero:
Resolvendo para
:
Agora, vamos encontrar o valor de
correspondente substituindo
na função original:
Então, o ponto onde a reta tangente é horizontal é
.
Resposta
A derivada da função é
. A equação da reta tangente no ponto
é
. A reta tangente é horizontal no ponto
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Uma barra cilíndrica é aquecida a
. Em seguida, ela é exposta a uma corrente de ar a
. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia com o tempo (em minutos) de acordo com a função:
a) Determine o tempo gasto para que a temperatura nesse ponto atinja
.
b) Determine a temperatura exata para e
minutos.
c) Usando os pontos dos itens a) e b), esboce o gráfico de para
.
b) Determine a temperatura exata para
c) Usando os pontos dos itens a) e b), esboce o gráfico de
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Considere a função
definida por
com
. Mostre que o gráfico de
está compreendido na região delimitada pelo gráfico das funções
e
definidas por
e