Para cada uma das funções dadas determine
, determine a equação da reta tangente no ponto
do gráfico de
e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos a função
e o ponto
. O que a gente precisa fazer é:
- Encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. - Determinar a equação da reta tangente à curva de
no ponto . - Encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo, como derivadas e equações de retas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A regra básica para derivar é:
Aplicando isso na nossa função:
Calculando cada termo:
Então, a derivada é
.
Passo 3
Agora, vamos achar a equação da reta tangente no ponto
. A fórmula da reta tangente é:
Onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação da reta nesse ponto.
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, sabemos que a inclinação da reta tangente é 1 e o ponto é (-1, 0). Substituindo na fórmula:
Então, a equação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação igual a zero. Então, queremos saber para quais valores de
a derivada
é igual a zero:
Resolvendo para
:
Agora, vamos encontrar o valor de
correspondente substituindo
na função original:
Então, o ponto onde a reta tangente é horizontal é
.
Resposta
A derivada da função é
. A equação da reta tangente no ponto
é
. A reta tangente é horizontal no ponto
.