Para cada uma das funções dadas determine f'(x), determine a equação da reta tangente no ponto P do gráfico de f e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
f(x) = x^2 + 3x + 2 ; P = (-1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos a função e o ponto . O que a gente precisa fazer é:
  1. Encontrar a derivada dessa função, ou seja, .
  2. Determinar a equação da reta tangente à curva de no ponto .
  3. Encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo, como derivadas e equações de retas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A regra básica para derivar é:
Aplicando isso na nossa função:
Calculando cada termo:
Então, a derivada é .

Passo 3

Agora, vamos achar a equação da reta tangente no ponto . A fórmula da reta tangente é:
Onde é o ponto de tangência e é a inclinação da reta nesse ponto.
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, sabemos que a inclinação da reta tangente é 1 e o ponto é (-1, 0). Substituindo na fórmula:
Então, a equação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação igual a zero. Então, queremos saber para quais valores de a derivada é igual a zero:
Resolvendo para :
Agora, vamos encontrar o valor de correspondente substituindo na função original:
Então, o ponto onde a reta tangente é horizontal é .

Resposta

A derivada da função é . A equação da reta tangente no ponto é . A reta tangente é horizontal no ponto .

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