Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=0^infty x^nn+2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty x^nn+2. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries de potências e a determinação de onde elas convergem. Para resolver, vamos precisar aplicar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois verificar os pontos extremos para determinar o intervalo completo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que estamos lidando: sumn=0^infty x^nn+2. Essa é uma série de potências na forma geral sum an x^n, onde neste caso, an = 1n+2.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência ®, vamos utilizar o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge.

Passo 4

O teste da raiz envolve calcular o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an x^n| = limn to infty raiz[n]|x^nn+2|
Isso simplifica para:
L = |x| cdot limn to infty raiz[n]1n+2

Passo 5

Observando o limite limn to infty raiz[n]1n+2, percebemos que raiz[n]n+2 tende a 1 quando n cresce. Portanto:
limn to infty raiz[n]1n+2 = 11 = 1
Assim, temos:
L = |x| times 1 = |x|

Passo 6

De acordo com o teste da raiz, a série converge quando L < 1, ou seja:
|x| < 1
Isso nos dá o raio de convergência R = 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos extremos x = 1 e x = -1.
  • Para x = 1:
sumn=0^infty 1^nn+2 = sumn=0^infty 1n+2
Essa é uma série harmônica deslocada, que sabemos ser divergente.
  • Para x = -1:
sumn=0^infty (-1)^nn+2
Essa é uma série alternada, e como os termos 1n+2 tendem a zero e são decrescentes, pelo teste da série alternada, ela converge.

Passo 8

Com isso, concluímos que a série converge para |x| < 1 e também converge no ponto x = -1, mas diverge em x = 1. Portanto, o intervalo de convergência é:
[-1, 1)

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1,,1).

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