Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries de potências e a determinação de onde elas convergem. Para resolver, vamos precisar aplicar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois verificar os pontos extremos para determinar o intervalo completo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que estamos lidando: . Essa é uma série de potências na forma geral , onde neste caso, .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência ®, vamos utilizar o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 4
O teste da raiz envolve calcular o limite:
Isso simplifica para:
L = |x| cdot limn to infty raiz[n]1n+2
Passo 5
Observando o limite limn to infty raiz[n]1n+2, percebemos que raiz[n]n+2 tende a 1 quando n cresce. Portanto:
limn to infty raiz[n]1n+2 = 11 = 1
Assim, temos:
L = |x| times 1 = |x|
Passo 6
De acordo com o teste da raiz, a série converge quando L < 1, ou seja:
|x| < 1
Isso nos dá o raio de convergênciaR = 1.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos extremos x = 1 e x = -1.
Para x = 1:
sumn=0^infty 1^nn+2 = sumn=0^infty 1n+2
Essa é uma série harmônica deslocada, que sabemos ser divergente.
Para x = -1:
sumn=0^infty (-1)^nn+2
Essa é uma série alternada, e como os termos 1n+2 tendem a zero e são decrescentes, pelo teste da série alternada, ela converge.
Passo 8
Com isso, concluímos que a série converge para |x| < 1 e também converge no ponto x = -1, mas diverge em x = 1. Portanto, o intervalo de convergência é:
[-1, 1)
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1,,1).