Resolva as integrais abaixo
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo substituições para simplificar a expressão. Vamos precisar usar a técnica de substituição adequada para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Observando
, uma boa ideia é definir
. Isso vai facilitar os cálculos porque o denominador ficará em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando
, temos:
Isso nos dá uma relação para substituir
na integral.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
. Primeiro, observe que temos
no numerador, que pode ser escrito como
. Sabendo que
, temos
. Substituindo tudo na integral:
Usando a relação
, substituímos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integraremos termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos substituir
de volta em termos de
, já que
:
Podemos fatorar
se preferir, mas essa é uma forma adequada da solução.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.