Resolva as integrais abaixo
(e) integral t^3(2-t^2)^5 / 2 d t

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo substituições para simplificar a expressão. Vamos precisar usar a técnica de substituição adequada para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Observando , uma boa ideia é definir . Isso vai facilitar os cálculos porque o denominador ficará em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = -2t Rightarrow du = -2t , dt Rightarrow t , dt = -12 du em relação a para substituir . Derivando , temos:
Isso nos dá uma relação para substituir na integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral t^3(2 - t^2)^5/2 dt = integral t^2 cdot tu^5/2 dt = integral (2 - u) cdot tu^5/2 dt . Primeiro, observe que temos integral (2 - u)u^5/2 cdot (-12) du = -12 integral 2 - uu^5/2 du no numerador, que pode ser escrito como . Sabendo que , temos . Substituindo tudo na integral:
Usando a relação , substituímos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
-12 integral ( 2u^5/2 - uu^5/2 ) du = -12 integral ( 2u^-5/2 - u^-3/2 ) du
Agora, integraremos termo a termo:
-12 ( 2 cdot u^-3/2-3/2 - u^-1/2-1/2 ) + C
Simplificando os coeficientes:
-12 ( -43 u^-3/2 + 2u^-1/2 ) + C = 23 u^-3/2 - u^-1/2 + C

Passo 6

Agora, vamos substituir 23 (2 - t^2)^-3/2 - (2 - t^2)^-1/2 + C de volta em termos de , já que :
Podemos fatorar se preferir, mas essa é uma forma adequada da solução.

Resposta

A integral 23 (2 - t^2)^-3/2 - (2 - t^2)^-1/2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Suponha que o preço a ser pago por uma viagem de Uber inclua uma taxa fixa (valor mínimo da viagem) R e um custo de e um custo de por quilômetro rodado.
a) Escreva uma função 1,05 que forneça o custo, em reais, de uma corrida de C quilômetros;
b) Determine o custo de uma viagem de x, bem como o de uma viagem de 12 Km.
Resolva as integrais abaixo
(d) integral x e^2 x(2 x+1)^2 d x
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=0^infty x^nn+2
Uma barra cilíndrica é aquecida a 1100°F(T0). Em seguida, ela é exposta a uma corrente de ar a 100^F(T_AR). Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia com o tempo (em minutos) de acordo com a função:
T(t)=(T0- TAR) 10^(-t / 12)+ TAR
a) Determine o tempo gasto para que a temperatura nesse ponto atinja 700 °F.
b) Determine a temperatura exata para t = 0 e t = 12 minutos.
c) Usando os pontos dos itens a) e b), esboce o gráfico de T(t) para t em [0, 20].