Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio e comprimento , carregada com carga , é envolta por uma casca cilíndrica, de raio e mesmo comprimento , carregada com uma carga . Use a lei de Gauss para determinar:
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas estruturas cilíndricas: uma barra condutora bem longa com raio , comprimento e carga , e uma casca cilíndrica ao redor dela com raio (onde ), mesmo comprimento e carga . Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões e também determinar como a carga está distribuída nas superfícies da casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Matematicamente, é expressa por:
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície gaussiana,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a permissividade do vácuo.
Vamos usar essa lei para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor das estruturas cilíndricas.

Passo 3

Parte a): Encontrar o campo el��trico para .
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento , onde . Como tudo é simétrico, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície e é perpendicular à área.
As cargas internas são e . A carga total dentro da gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 4

Parte b): Encontrar o campo elétrico para .
Agora, escolhemos uma superfície gaussiana dentro da casca, ou seja, com . As cargas internas a essa superfície são apenas , já que a casca ainda não influencia nesta região.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 5

Parte c): Determinar a carga nas superfícies interna e externa da casca.
Sabemos que a casca total tem carga . Como a casca é condutora, a carga se distribui de maneira que cancela o campo interno dentro do material condutor.
  1. Carga na superfície interna ( ):
    A carga na superfície interna deve equilibrar a carga da barra para que o campo dentro do condutor seja zero. Portanto:
  2. Carga na superfície externa ( ):
    A carga total da casca é . Substituindo:

Resposta

a) Para , o campo elétrico é .
b) Para , o campo elétrico é .
c) A carga na superfície interna da casca é e na superfície externa é .

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(b) Com a aproximação , mostrar que
© Mostrar, pela Eq. 12-56, que está relacionado a e a por
(d) Combinar os resultados de (b) e de © para mostrar que existem dois valores de para os quais a potência é igual à metade da potência na ressonância e que estes dois valores são.
Então, , o que é equivalente à Eq. 12-61.