Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
e comprimento
, carregada com carga
, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e mesmo comprimento
, carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas estruturas cilíndricas: uma barra condutora bem longa com raio
, comprimento
e carga
, e uma casca cilíndrica ao redor dela com raio
(onde
), mesmo comprimento
e carga
. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões e também determinar como a carga está distribuída nas superfícies da casca.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Matematicamente, é expressa por:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície gaussiana, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a permissividade do vácuo.
Vamos usar essa lei para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor das estruturas cilíndricas.
Passo 3
Parte a): Encontrar o campo el��trico para
.
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
, onde
. Como tudo é simétrico, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em toda a superfície e é perpendicular à área.
As cargas internas são
e
. A carga total dentro da gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 4
Parte b): Encontrar o campo elétrico para
.
Agora, escolhemos uma superfície gaussiana dentro da casca, ou seja, com
. As cargas internas a essa superfície são apenas
, já que a casca ainda não influencia nesta região.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 5
Parte c): Determinar a carga nas superfícies interna e externa da casca.
Sabemos que a casca total tem carga
. Como a casca é condutora, a carga se distribui de maneira que cancela o campo interno dentro do material condutor.
-
Carga na superfície interna (
):
A carga na superfície interna deve equilibrar a carga da barra para que o campo dentro do condutor seja zero. Portanto: -
Carga na superfície externa (
):
A carga total da casca é. Substituindo:
Resposta
a) Para
, o campo elétrico é
.
b) Para
, o campo elétrico é
.
c) A carga na superfície interna da casca é
e na superfície externa é
.