Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L, carregada com carga Q1=+q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e mesmo comprimento L, carregada com uma carga Q2=-2 q. Use a lei de Gauss para determinar:
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial r>R2;
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial R1;
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas estruturas cilíndricas: uma barra condutora bem longa com raio , comprimento e carga , e uma casca cilíndrica ao redor dela com raio (onde ), mesmo comprimento e carga . Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões e também determinar como a carga está distribuída nas superfícies da casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Matematicamente, é expressa por:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície gaussiana,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a permissividade do vácuo.
Vamos usar essa lei para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor das estruturas cilíndricas.

Passo 3

Parte a): Encontrar o campo el��trico para Qinterno = Q1 + Q2 = +q - 2q = -q .
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio E cdot (2pi r L) = -qvarepsilon0 e comprimento E = -q2pi varepsilon0 r L , onde . Como tudo é simétrico, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície e é perpendicular à área.
As cargas internas são e . A carga total dentro da gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 4

Parte b): Encontrar o campo elétrico para E cdot (2pi r L) = +qvarepsilon0 .
Agora, escolhemos uma superfície gaussiana dentro da casca, ou seja, com E = q2pi varepsilon0 r L . As cargas internas a essa superfície são apenas , já que a casca ainda não influencia nesta região.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 5

Parte c): Determinar a carga nas superfícies interna e externa da casca.
Sabemos que a casca total tem carga Qin + Q1 = 0 implies Qin = -Q1 = -q . Como a casca é condutora, a carga se distribui de maneira que cancela o campo interno dentro do material condutor.
  1. Carga na superfície interna ( -2q = -q + Qout implies Qout = -q ):
    A carga na superfície interna deve equilibrar a carga da barra para que o campo dentro do condutor seja zero. Portanto:
  2. Carga na superfície externa ( ):
    A carga total da casca é . Substituindo:

Resposta

a) Para , o campo elétrico é .
b) Para , o campo elétrico é .
c) A carga na superfície interna da casca é e na superfície externa é .

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