(a) Mostre que o comprimento de onda mínimo no espectro contínuo de raios Xe dado por
, onde
é a voltagem aplicada em quilovolts. (b) Se a voltagem aplicada a um tubo de raios X E 186 kV , quanto vale
?
Passo 1
Beleza, vamos encarar essa questão! Temos duas partes: primeiro, mostrar que o comprimento de onda mínimo no espectro contínuo de raios X é dado por
, onde
é a voltagem em quilovolts. Depois, calcular esse comprimento de onda quando a voltagem é de 186 kV. Para isso, vamos precisar entender como os raios X são gerados e a relação entre energia e comprimento de onda usando algumas fórmulas da física.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os raios X são produzidos. Quando elétrons são acelerados por uma alta voltagem e atingem um alvo metálico, eles perdem energia e emitem raios X. A energia desses raios X está diretamente ligada ao comprimento de onda que eles possuem.
Passo 3
A relação entre a energia dos raios X (
) e seu comprimento de onda (
) é dada pela fórmula de Planck:
Aqui,
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz.
Passo 4
A energia cinética dos elétrons acelerados pela voltagem
é dada por
, onde
é a carga elementar. Como a energia dos elétrons se transforma na energia dos raios X, podemos igualar as duas expressões:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Isso já nos dá a relação entre o comprimento de onda mínimo e a voltagem aplicada.
Passo 6
Vamos calcular o valor de
para deixar a fórmula mais parecida com a que foi dada no exercício. Utilizando as constantes:
Fazendo as contas:
Convertendo para angstrons (
):
Passo 7
Substituindo esse valor na expressão para
:
Pronto! Isso mostra que o comprimento de onda mínimo é realmente
.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar
quando a voltagem
é de 186 kV. Vamos substituir na fórmula:
Resposta
(a) Demonstramos que
.
(b) Para uma voltagem de 186 kV, o comprimento de onda mínimo é aproximadamente
.