(a) Mostre que o comprimento de onda mínimo no espectro contínuo de raios Xe dado por lambda min =12.4 AA / V, onde V é a voltagem aplicada em quilovolts. (b) Se a voltagem aplicada a um tubo de raios X E 186 kV , quanto vale lambda min ?

Passo 1

Beleza, vamos encarar essa questão! Temos duas partes: primeiro, mostrar que o comprimento de onda mínimo no espectro contínuo de raios X é dado por lambdamin = 12.4 AAV, onde V é a voltagem em quilovolts. Depois, calcular esse comprimento de onda quando a voltagem é de 186 kV. Para isso, vamos precisar entender como os raios X são gerados e a relação entre energia e comprimento de onda usando algumas fórmulas da física.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os raios X são produzidos. Quando elétrons são acelerados por uma alta voltagem e atingem um alvo metálico, eles perdem energia e emitem raios X. A energia desses raios X está diretamente ligada ao comprimento de onda que eles possuem.

Passo 3

A relação entre a energia dos raios X ( E) e seu comprimento de onda ( lambda) é dada pela fórmula de Planck:
E = hclambda
Aqui, h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz.

Passo 4

A energia cinética dos elétrons acelerados pela voltagem V é dada por E = eV, onde e é a carga elementar. Como a energia dos elétrons se transforma na energia dos raios X, podemos igualar as duas expressões:
eV = hclambda

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar lambda:
lambda = hceV
Isso já nos dá a relação entre o comprimento de onda mínimo e a voltagem aplicada.

Passo 6

Vamos calcular o valor de hce para deixar a fórmula mais parecida com a que foi dada no exercício. Utilizando as constantes:
  • h = 6.626 times 10^-34 J·s
  • c = 3.00 times 10^8 m/s
  • e = 1.602 times 10^-19 C
Fazendo as contas:
hce = 6.626 times 10^-34 times 3.00 times 10^81.602 times 10^-19 approx 12.4 times 10^-10 m·V
Convertendo para angstrons ( 1 AA = 10^-10 m):
hce approx 12.4 AA cdot V

Passo 7

Substituindo esse valor na expressão para lambda:
lambdamin = 12.4 AA cdot VV = 12.4 AAV
Pronto! Isso mostra que o comprimento de onda mínimo é realmente lambdamin = 12.4 AAV.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar lambdamin quando a voltagem V é de 186 kV. Vamos substituir na fórmula:
lambdamin = 12.4 AA186 approx 0.0667 AA

Resposta

(a) Demonstramos que lambdamin = 12.4 AAV.
(b) Para uma voltagem de 186 kV, o comprimento de onda mínimo é aproximadamente 0.0667 AA.

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