Uma esfera de raio
envolve uma partícula de carga
, localizada no seu centro.
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo
(figura ) é igual a:
b) Qual é o fluxo para
? e para
?
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo
Passo 1
Então, a gente tem uma esfera com raio
que está envolvendo uma partícula de carga
no centro. A ideia aqui é calcular o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo
. Vamos usar conceitos de Lei de Gauss e fluxo elétrico para resolver essa questão. Para isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo elétrico em superfícies esféricas e aplicar a geometria envolvida no tampão circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo elétrico (
) é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada área. Matematicamente, é dado por:
Como estamos lidando com uma esfera e a carga está no centro, o campo elétrico (
) é radial e uniforme em qualquer superfície esférica com raio constante devido à simetria.
Passo 3
Para aplicar a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada que envolve uma carga
é:
No nosso caso, a superfície fechada seria a esfera completa. Mas queremos o fluxo através de apenas um tampão circular com meio-ângulo
.
Passo 4
Vamos calcular a área do tampão circular. Em coordenadas esféricas, a área de um tampão com meio-ângulo
é:
Aqui, usamos a fórmula da área de um setor esférico, onde
é o raio da esfera e
é o meio-ângulo do tampão.
Passo 5
Sabemos que o campo elétrico em qualquer ponto da superfície é:
Isso vem da aplicação da Lei de Coulomb para uma carga pontual.
Passo 6
Como o campo elétrico é uniforme e radial, o fluxo através do tampão é simplesmente o produto do campo elétrico pela área do tampão:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Agora, para a parte b), queremos calcular o fluxo para
e
.
Passo 9
Substituindo
na fórmula:
Passo 10
Já para
:
Resposta
- Para
, o fluxo é:
- Para
, o fluxo é: