Uma esfera de raio envolve uma partícula de carga , localizada no seu centro.
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo (figura ) é igual a:
b) Qual é o fluxo para ? e para ?

Passo 1

Então, a gente tem uma esfera com raio que está envolvendo uma partícula de carga no centro. A ideia aqui é calcular o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo . Vamos usar conceitos de Lei de Gauss e fluxo elétrico para resolver essa questão. Para isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo elétrico em superfícies esféricas e aplicar a geometria envolvida no tampão circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo elétrico ( ) é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada área. Matematicamente, é dado por:
Como estamos lidando com uma esfera e a carga está no centro, o campo elétrico ( ) é radial e uniforme em qualquer superfície esférica com raio constante devido à simetria.

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada que envolve uma carga é:
No nosso caso, a superfície fechada seria a esfera completa. Mas queremos o fluxo através de apenas um tampão circular com meio-ângulo .

Passo 4

Vamos calcular a área do tampão circular. Em coordenadas esféricas, a área de um tampão com meio-ângulo é:
Aqui, usamos a fórmula da área de um setor esférico, onde é o raio da esfera e é o meio-ângulo do tampão.

Passo 5

Sabemos que o campo elétrico em qualquer ponto da superfície é:
Isso vem da aplicação da Lei de Coulomb para uma carga pontual.

Passo 6

Como o campo elétrico é uniforme e radial, o fluxo através do tampão é simplesmente o produto do campo elétrico pela área do tampão:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Agora, para a parte b), queremos calcular o fluxo para e .

Passo 9

Substituindo na fórmula:

Passo 10

Já para :

Resposta

  • Para , o fluxo é:
  • Para , o fluxo é:

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