Uma esfera de raio R envolve uma partícula de carga Q, localizada no seu centro.
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo theta (figura ) é igual a:
phiE=Q2 varepsilon0(1-cos theta)
b) Qual é o fluxo para theta=pi / 2 ? e para theta=pi ?

Passo 1

Então, a gente tem uma esfera com raio que está envolvendo uma partícula de carga no centro. A ideia aqui é calcular o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo . Vamos usar conceitos de Lei de Gauss e fluxo elétrico para resolver essa questão. Para isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo elétrico em superfícies esféricas e aplicar a geometria envolvida no tampão circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo elétrico ( phiE = oint E cdot dA ) é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada área. Matematicamente, é dado por:
Como estamos lidando com uma esfera e a carga está no centro, o campo elétrico ( ) é radial e uniforme em qualquer superfície esférica com raio constante devido à simetria.

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada que envolve uma carga oint E cdot dA = Qvarepsilon0 é:
No nosso caso, a superfície fechada seria a esfera completa. Mas queremos o fluxo através de apenas um tampão circular com meio-ângulo .

Passo 4

Vamos calcular a área do tampão circular. Em coordenadas esféricas, a área de um tampão com meio-ângulo A = 2pi R^2 (1 - cos theta) é:
Aqui, usamos a fórmula da área de um setor esférico, onde é o raio da esfera e é o meio-ângulo do tampão.

Passo 5

Sabemos que o campo elétrico em qualquer ponto da superfície é:
E = Q4pi varepsilon0 R^2
Isso vem da aplicação da Lei de Coulomb para uma carga pontual.

Passo 6

Como o campo elétrico é uniforme e radial, o fluxo através do tampão é simplesmente o produto do campo elétrico pela área do tampão:
phiE = E cdot A = Q4pi varepsilon0 R^2 cdot 2pi R^2 (1 - cos theta)

Passo 7

Simplificando a expressão:
phiE = Q4pi varepsilon0 R^2 times 2pi R^2 (1 - cos theta) = Q2 varepsilon0 (1 - cos theta)

Passo 8

Agora, para a parte b), queremos calcular o fluxo para e .

Passo 9

Substituindo phiE = Q2 varepsilon0 (1 - cos pi2) = Q2 varepsilon0 (1 - 0) = Q2 varepsilon0 na fórmula:

Passo 10

Já para phiE = Q2 varepsilon0 (1 - cos pi) = Q2 varepsilon0 (1 - (-1)) = Q2 varepsilon0 times 2 = Qvarepsilon0 :

Resposta

  • Para phiE = Q2 varepsilon0 , o fluxo é:
phiE = Qvarepsilon0
  • Para , o fluxo é:

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