Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
comprimento
está carregada com carga
. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e de mesmo comprimento
. A casca cilíndrica está carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
© o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial
© o vetor campo elétrico a uma distância radial
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio
e carregada com uma carga
. Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica também de comprimento
, com raio
e carga
. Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões radiais e determinar as cargas nas superfícies interna e externa da casca. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em simetrias cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
:
Vamos aplicar isso para encontrar o campo elétrico nas diferentes regiões.
Passo 3
Parte A: Campo elétrico para
Aqui, estamos fora da casca cilíndrica. Vamos construir uma superfície gaussiana cilíndrica com raio
e comprimento
. A simetria cilíndrica nos diz que o campo elétrico
é radial e constante ao longo da superfície gaussiana.
A carga total dentro dessa superfície é a soma da carga da barra e da casca:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, o vetor campo elétrico tem módulo
, direção radial para dentro (já que a carga total é negativa) e sentido orientado para o centro.
Passo 4
Parte B: Campo elétrico para
Nessa região, estamos dentro da casca cilíndrica, mas fora da barra. Construímos uma superfície gaussiana com raio
.
A carga dentro dessa superfície é apenas a carga da barra, já que a casca externa não contribui dentro dela:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
O vetor campo elétrico tem módulo
, direção radial para fora (pois a carga da barra é positiva) e sentido afastando-se do centro.
Passo 5
Parte C: Campo elétrico para
Agora, estamos dentro da barra cilíndrica condutora. Como condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro dele é zero.
Então:
O vetor campo elétrico é nulo nessa região.
Passo 6
Parte D: Carga nas superfícies interna e externa da casca
Para determinar as cargas nas superfícies da casca, sabemos que a casca tem carga total
.
A casca é condutora, então a carga se distribui nas superfícies interna e externa. A carga na superfície interna deve cancelar o campo dentro do condutor para que
no condutor. Como há uma carga
na barra, a carga na superfície interna da casca deve ser
.
A carga total da casca é
, então a carga na superfície externa será:
Então, a carga na superfície interna da casca é
e na superfície externa é
.
Resposta
(A) Para
, o campo elétrico é
radial para dentro.
(B) Para
, o campo elétrico é
radial para fora.
© Para
, o campo elétrico é zero.
(D) A carga na superfície interna da casca é
e na superfície externa é
.
Exercícios relacionados
Usando a lei de Biot-Savart, encontre o vetor campo magnético
em um ponto
sobre o eixo da espira situado a uma distância
do seu centro; (1 ponto)
Usando a lei de Amperé
, encontre o vetor campo magnético B. (1 ponto).
Apesar de não funcionar para átomos com muitos elétrons, o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio também pode ser aplicado para qualquer átomo com um único elétron. Considere um átomo de hélio ionizado
, de tal forma que este átomo tem dois prótons em seu núcleo, mas somente um elétron.
b) Usando o resultado do item anterior calcule os níveis de energia para o .
b) Usando o resultado do item anterior calcule os níveis de energia para o
Qual dos dois possui o período mais longo, um pêndulo curto ou um mais comprido? Argumente fisicamente sua resposta.