Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio Rl e comprimento L está carregada com carga Ql=+q. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e de mesmo comprimento L. A casca cilíndrica está carregada com uma carga Q2=-3 q. Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial r>R2;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial Rl>r>R2;
© o vetor campo elétrico a uma distância radial r;
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio e carregada com uma carga . Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica também de comprimento , com raio e carga . Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões radiais e determinar as cargas nas superfícies interna e externa da casca. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em simetrias cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante PhiE = Qdentrovarepsilon0 :
Vamos aplicar isso para encontrar o campo elétrico nas diferentes regiões.

Passo 3

Parte A: Campo elétrico para Qdentro = Ql + Q2 = q + (-3q) = -2q
Aqui, estamos fora da casca cilíndrica. Vamos construir uma superfície gaussiana cilíndrica com raio E cdot (2pi r L) = -2qvarepsilon0 e comprimento E = -2q2pi varepsilon0 r L = -qpi varepsilon0 r L . A simetria cilíndrica nos diz que o campo elétrico é radial e constante ao longo da superfície gaussiana.
A carga total dentro dessa superfície é a soma da carga da barra e da casca:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, o vetor campo elétrico tem módulo , direção radial para dentro (já que a carga total é negativa) e sentido orientado para o centro.

Passo 4

Parte B: Campo elétrico para Qdentro = Ql = q
Nessa região, estamos dentro da casca cilíndrica, mas fora da barra. Construímos uma superfície gaussiana com raio E cdot (2pi r L) = qvarepsilon0 .
A carga dentro dessa superfície é apenas a carga da barra, já que a casca externa não contribui dentro dela:
E = q2pi varepsilon0 r L
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
O vetor campo elétrico tem módulo , direção radial para fora (pois a carga da barra é positiva) e sentido afastando-se do centro.

Passo 5

Parte C: Campo elétrico para E = 0
Agora, estamos dentro da barra cilíndrica condutora. Como condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro dele é zero.
Então:
O vetor campo elétrico é nulo nessa região.

Passo 6

Parte D: Carga nas superfícies interna e externa da casca
Para determinar as cargas nas superfícies da casca, sabemos que a casca tem carga total Qexterna = Q2 - Qinterna = -3q - (-q) = -2q .
A casca é condutora, então a carga se distribui nas superfícies interna e externa. A carga na superfície interna deve cancelar o campo dentro do condutor para que no condutor. Como há uma carga na barra, a carga na superfície interna da casca deve ser .
A carga total da casca é , então a carga na superfície externa será:
Então, a carga na superfície interna da casca é e na superfície externa é .

Resposta

(A) Para , o campo elétrico é radial para dentro.
(B) Para , o campo elétrico é radial para fora.
© Para , o campo elétrico é zero.
(D) A carga na superfície interna da casca é e na superfície externa é .

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