Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio Rl e comprimento L está carregada com carga Ql=+q. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e de mesmo comprimento L. A casca cilíndrica está carregada com uma carga Q2=-3 q. Use a lei de Gauss para determinar:
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial R1>r>R2;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas estruturas cilíndricas muito longas:
  1. Barra cilíndrica condutora:
    • Raio:
    • Carga:
  2. Casca cilíndrica externa:
    • Raio:
    • Carga:
A pergunta é para determinar o vetor campo elétrico em um ponto que está entre a barra e a casca, ou seja, onde a distância radial . Vamos usar a Lei de Gauss para resolver isso, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como esta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( oint E cdot dA = Qescolhidaepsilon0 ):
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento de área na superfície gaussiana.

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana que simplifique os cálculos. Como estamos lidando com cilindros concêntricos e queremos o campo em uma distância , vamos escolher um cilindro imaginário com raio e comprimento , onde .

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual carga está dentro dessa superfície gaussiana. Nossa superfície está entre e , então ela inclui a carga da barra interna , mas não inclui a carga da casca externa , porque essa está fora da nossa superfície.
Portanto, .

Passo 5

Com a superfície gaussiana escolhida e a carga interna conhecida, aplicamos a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = qepsilon0
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico E cdot (2pi r L) = qepsilon0 será radialmente simétrico e terá o mesmo valor em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim, o cálculo do fluxo elétrico simplifica para:
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 6

Agora, resolvemos para E = q2pi epsilon0 r L :
Esse é o campo elétrico em um ponto a uma distância do eixo central, onde .

Resposta

O vetor campo elétrico a uma distância E = q2pi epsilon0 r L , r é:
Onde é o vetor unitário na direção radial.

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