Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
comprimento
está carregada com carga
. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e de mesmo comprimento
. A casca cilíndrica está carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas estruturas cilíndricas muito longas:
-
Barra cilíndrica condutora:
- Raio:
- Carga:
- Raio:
-
Casca cilíndrica externa:
- Raio:
- Carga:
- Raio:
A pergunta é para determinar o vetor campo elétrico em um ponto que está entre a barra e a casca, ou seja, onde a distância radial
. Vamos usar a Lei de Gauss para resolver isso, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como esta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Aqui,
é o campo elétrico e
é um elemento de área na superfície gaussiana.
Passo 3
Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana que simplifique os cálculos. Como estamos lidando com cilindros concêntricos e queremos o campo em uma distância
, vamos escolher um cilindro imaginário com raio
e comprimento
, onde
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual carga está dentro dessa superfície gaussiana. Nossa superfície está entre
e
, então ela inclui a carga da barra interna
, mas não inclui a carga da casca externa
, porque essa está fora da nossa superfície.
Portanto,
.
Passo 5
Com a superfície gaussiana escolhida e a carga interna conhecida, aplicamos a Lei de Gauss:
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico
será radialmente simétrico e terá o mesmo valor em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim, o cálculo do fluxo elétrico simplifica para:
Aqui,
é a área lateral do cilindro gaussiano.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Esse é o campo elétrico em um ponto a uma distância
do eixo central, onde
.
Resposta
O vetor campo elétrico a uma distância
é:
Onde
é o vetor unitário na direção radial.