Um tanque retangular, usado para fornecer água em uma experiência de número de Reynolds, tem profundidade de 230 mm , largura de 150 mm e comprimento de 230 mm . O número de Reynolds da água do tubo de saída (diâmetro interno de 6,35 mm) é Re=2000, quando o tanque está metade cheio. A válvula de admissão de água para o tanque está fechada Determine a taxa de variação do nível da água neste instante.
Resp.: 2,9 times 10^-4 m / s

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um tanque retangular com dimensões específicas: profundidade de 230 mm, largura de 150 mm e comprimento de 230 mm. Quando o tanque está meio cheio, a água sai por um tubo de saída com diâmetro interno de 6,35 mm, e o número de Reynolds desse fluxo é 2000. A válvula de entrada de água está fechada, ou seja, não tem água entrando no tanque. Precisamos determinar a taxa de variação do nível da água neste instante.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente relacionados ao Número de Reynolds, velocidade do fluxo, taxa de escoamento volumétrico e variação do nível de líquido em um recipiente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Número de Reynolds. Ele é uma grandeza adimensional que ajuda a prever o tipo de escoamento (laminar ou turbulento) em um fluido. A fórmula do Número de Reynolds é:
Re = rho v Dmu
Onde:
  • v = Re cdot murho D é a densidade do fluido,
  • é a velocidade do fluido,
  • é o diâmetro característico (no nosso caso, o diâmetro interno do tubo),
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
Como temos o Número de Reynolds e o diâmetro, podemos rearranjar a fórmula para encontrar a velocidade :

Passo 3

Para prosseguir, precisamos saber os valores de D = 6,35 , mm = 0,00635 , m (densidade da água) e v = 2000 times 1,002 times 10^-3 , Pa cdot s998 , kg/m^3 times 0,00635 , m approx 0,317 , m/s (viscosidade da água). Considerando a água a 20°C, temos aproximadamente:
Também, o diâmetro do tubo é 6,35 mm, que convertendo para metros fica:
Com isso, calculamos a velocidade :

Passo 4

Agora que temos a velocidade do fluxo Q = A times v , podemos encontrar a taxa de escoamento volumétrico A = pi (D2)^2 = pi (0,006352)^2 approx 3,17 times 10^-5 , m^2 . A fórmula para Q = 3,17 times 10^-5 , m^2 times 0,317 , m/s approx 1,0 times 10^-5 , m^3/s é:
Onde é a área da seção transversal do tubo. Como o tubo é circular, a área é:
Então, calculando :

Passo 5

O próximo passo é relacionar essa taxa de escoamento volumétrico Q = Abase times dHdt com a taxa de variação do nível da água Abase = largura times comprimento = 0,15 , m times 0,23 , m = 0,0345 , m^2 no tanque. A variação de volume no tanque está relacionada à área da base do tanque e à variação do nível da água:
Onde é a área da base do tanque. Como o tanque é retangular:

Passo 6

Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar dHdt = QAbase = 1,0 times 10^-5 , m^3/s0,0345 , m^2 approx 2,9 times 10^-4 , m/s :

Resposta

A taxa de variação do nível da água é aproximadamente .

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