Um gás ideal, no volume e na pressão iniciais, expande-se adiabática e quaseestaticamente até o volume e pressão . Calcular o trabalho efetuado pela integração de PdV e mostrar que o resultado coincide com aquele encontrado a partir da Primeira lei da termodinâmica e de considerações sobre calores específicos, ou seja:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de termodinâmica onde um gás ideal se expande adiabaticamente e quaseestaticamente. Isso significa que não troca calor com o ambiente durante a expansão e que a mudança acontece de forma lenta e controlada. A gente precisa calcular o trabalho feito por esse gás durante a expansão usando a integração de e mostrar que o resultado é:
á
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e entender um pouco sobre processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, . A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
Como , temos . Isso significa que o trabalho feito pelo gás está relacionado à variação da energia interna.

Passo 3

Agora, vamos focar no trabalho . Para calcular o trabalho realizado durante a expansão, usamos a integral:
Aqui, é a pressão do gás durante a expansão, que não é constante. Precisamos expressar em função de .

Passo 4

Como estamos lidando com um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
Onde é a razão entre os calores específicos e , ou seja, .

Passo 5

Vamos chamar essa constante de :
Assim, podemos expressar em função de :

Passo 6

Agora, vamos substituir na integral do trabalho:
Essa integral vai nos dar o trabalho realizado durante a expansão.

Passo 7

Vamos integrar:
A integral de é:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:

Passo 9

Lembrando que , podemos substituir por :

Passo 10

Vamos simplificar a expressão:
Isso pode ser reescrito como:
Onde , já que é constante.

Resposta

O trabalho efetuado durante a expansão adiabática é:
á

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Resp.:
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(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se e forem contínuas em e então