Um gás ideal, no volume V1 e na pressão P1 iniciais, expande-se adiabática e quaseestaticamente até o volume V2 e pressão P2. Calcular o trabalho efetuado pela integração de PdV e mostrar que o resultado coincide com aquele encontrado a partir da Primeira lei da termodinâmica e de considerações sobre calores específicos, ou seja:
W adiabatico =P1 V1-P2 V2gamma-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de termodinâmica onde um gás ideal se expande adiabaticamente e quaseestaticamente. Isso significa que não troca calor com o ambiente durante a expansão e que a mudança acontece de forma lenta e controlada. A gente precisa calcular o trabalho feito por esse gás durante a expansão usando a integração de Wadiabático = P1 V1 - P2 V2gamma - 1 e mostrar que o resultado é:
á
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e entender um pouco sobre processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, De. A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
Como , temos . Isso significa que o trabalho feito pelo gás está relacionado à variação da energia interna.

Passo 3

Agora, vamos focar no trabalho W = integralV1^V2 P , dV . Para calcular o trabalho realizado durante a expansão, usamos a integral:
Aqui, é a pressão do gás durante a expansão, que não é constante. Precisamos expressar em função de .

Passo 4

Como estamos lidando com um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
P V^gamma = constante
Onde é a razão entre os calores específicos e , ou seja, .

Passo 5

Vamos chamar essa constante de P V^gamma = C :
P = CV^gamma
Assim, podemos expressar em função de :

Passo 6

Agora, vamos substituir W = integralV1^V2 CV^gamma , dV na integral do trabalho:
Essa integral vai nos dar o trabalho realizado durante a expansão.

Passo 7

Vamos integrar:
W = C integralV1^V2 V^-gamma , dV
A integral de integral V^-gamma , dV = V^1 - gamma1 - gamma + constante é:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
W = C [ V^1 - gamma1 - gamma ]V1^V2 = C1 - gamma ( V2^1 - gamma - V1^1 - gamma )

Passo 9

Lembrando que W = P1 V1^gamma1 - gamma ( V2^1 - gamma - V1^1 - gamma ) , podemos substituir por :

Passo 10

Vamos simplificar a expressão:
W = P1 V1^gamma1 - gamma ( 1V2^gamma - 1 - 1V1^gamma - 1 )
Isso pode ser reescrito como:
W = P1 V1 - P2 V2gamma - 1
Onde , já que é constante.

Resposta

O trabalho efetuado durante a expansão adiabática é:
Wadiabático = P1 V1 - P2 V2gamma - 1 á

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