Um gás ideal, no volume
e na pressão
iniciais, expande-se adiabática e quaseestaticamente até o volume
e pressão
. Calcular o trabalho efetuado pela integração de PdV e mostrar que o resultado coincide com aquele encontrado a partir da Primeira lei da termodinâmica e de considerações sobre calores específicos, ou seja:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de termodinâmica onde um gás ideal se expande adiabaticamente e quaseestaticamente. Isso significa que não troca calor com o ambiente durante a expansão e que a mudança acontece de forma lenta e controlada. A gente precisa calcular o trabalho feito por esse gás durante a expansão usando a integração de
e mostrar que o resultado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e entender um pouco sobre processos adiabáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, ou seja,
. A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
Como
, temos
. Isso significa que o trabalho feito pelo gás está relacionado à variação da energia interna.
Passo 3
Agora, vamos focar no trabalho
. Para calcular o trabalho realizado durante a expansão, usamos a integral:
Aqui,
é a pressão do gás durante a expansão, que não é constante. Precisamos expressar
em função de
.
Passo 4
Como estamos lidando com um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
Onde
é a razão entre os calores específicos
e
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos chamar essa constante de
:
Assim, podemos expressar
em função de
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na integral do trabalho:
Essa integral vai nos dar o trabalho realizado durante a expansão.
Passo 7
Vamos integrar:
A integral de
é:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Lembrando que
, podemos substituir
por
:
Passo 10
Vamos simplificar a expressão:
Isso pode ser reescrito como:
Onde
, já que
é constante.
Resposta
O trabalho efetuado durante a expansão adiabática é: