Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
comprimento
está carregada com carga
. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e de mesmo comprimento
. A casca cilíndrica está carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
© o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial
© o vetor campo elétrico a uma distância radial
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio
e comprimento
, carregada com uma carga
. Essa barra é envolta por uma casca cilíndrica de mesmo comprimento
e raio
, que possui uma carga
. Nosso objetivo é usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor dessas estruturas e também encontrar a distribuição de carga nas superfícies da casca. Para resolver isso, vamos precisar entender a lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total
através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões, vamos escolher superfícies gaussianas apropriadas, que no caso de simetria cilíndrica, serão cilindros coaxiais com as estruturas dadas.
Passo 3
Parte (A): Campo elétrico a uma distância radial
Aqui, queremos encontrar o campo elétrico fora da casca cilíndrica. Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica com raio
e comprimento
. Dentro dessa superfície, estão tanto a barra condutora quanto a casca.
A carga total dentro dessa superfície é:
Aplicando a lei de Gauss:
Resolviendo para
:
O sinal negativo indica que o campo elétrico está apontando para dentro, já que a carga total dentro é negativa.
Passo 4
Parte (B): Campo elétrico a uma distância radial
Agora, queremos o campo entre a barra e a casca. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio
.
Dentro dessa superfície, apenas a carga na barra está incluída, já que a casca está fora dessa superfície.
A carga total dentro é
.
Aplicando a lei de Gauss:
Resolviendo para
:
Aqui, o campo elétrico está apontando para fora, já que a carga na barra é positiva.
Passo 5
Parte ©: Campo elétrico a uma distância radial
Nesta região, estamos dentro da barra condutora. Para condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior é zero.
Então, diretamente sabemos que:
Passo 6
Parte (D): Carga nas superfícies interna e externa da casca
A casca cilíndrica tem carga total
. Em equilíbrio eletrostático, a carga em um condutor se distribui nas superfícies.
-
Superfície interna da casca (
): Deve neutralizar a carga da barra. Como a carga da barra é , a carga na superfície interna será para que o campo no interior da casca seja zero. -
Superfície externa da casca (
): A carga total da casca é . Como já temos na superfície interna, a superfície externa terá:
Resposta
(A) Para
, o campo elétrico é
, apontando para dentro.
(B) Para
, o campo elétrico é
, apontando para fora.
© Para
, o campo elétrico é
.
(D) Na casca cilíndrica, a carga na superfície interna é
e na superfície externa é
.
Exercícios relacionados
No que segue,
e
representarão constantes reais e
. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos
Tentando comprovar o experimento do efeito fotoelétrico, expomos um eletroscópio carregado eletricamente (material desconhecido) à radiação ultravioleta (luz Negra). No entanto, o eletroscópio permaneceu carregado.
a) Faça uma estimativa dos valores do comprimento de onda da lâmpada UV e da função trabalho do material do eletroscópio.
a) Faça uma estimativa dos valores do comprimento de onda da lâmpada UV e da função trabalho do material do eletroscópio.
Um cilindro isolante de comprimento infinito e de raio
é carregado com uma densidade volumétrica uniforme
. Calcule a intensidade do campo elétrico uma distância
do eixo do cilindro para:
(A) ; e (B)
.
(A)
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.