Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio Rl e comprimento L está carregada com carga Ql=+q. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e de mesmo comprimento L. A casca cilíndrica está carregada com uma carga Q2=-3 q. Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial r>R2;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial R1>r>R2;
© o vetor campo elétrico a uma distância radial r;
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio e comprimento , carregada com uma carga . Essa barra é envolta por uma casca cilíndrica de mesmo comprimento e raio , que possui uma carga . Nosso objetivo é usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor dessas estruturas e também encontrar a distribuição de carga nas superfícies da casca. Para resolver isso, vamos precisar entender a lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total PhiE = oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo :
Para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões, vamos escolher superfícies gaussianas apropriadas, que no caso de simetria cilíndrica, serão cilindros coaxiais com as estruturas dadas.

Passo 3

Parte (A): Campo elétrico a uma distância radial Qinterno = Ql + Q2 = q + (-3q) = -2q
Aqui, queremos encontrar o campo elétrico fora da casca cilíndrica. Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica com raio PhiE = E(2pi r L) = -2qvarepsilon0 e comprimento E = -2q2pi r L varepsilon0 = -qpi r L varepsilon0 . Dentro dessa superfície, estão tanto a barra condutora quanto a casca.
A carga total dentro dessa superfície é:
Aplicando a lei de Gauss:
Resolviendo para :
O sinal negativo indica que o campo elétrico está apontando para dentro, já que a carga total dentro é negativa.

Passo 4

Parte (B): Campo elétrico a uma distância radial PhiE = E(2pi r L) = qvarepsilon0
Agora, queremos o campo entre a barra e a casca. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio E = q2pi r L varepsilon0 .
Dentro dessa superfície, apenas a carga na barra está incluída, já que a casca está fora dessa superfície.
A carga total dentro é .
Aplicando a lei de Gauss:
Resolviendo para :
Aqui, o campo elétrico está apontando para fora, já que a carga na barra é positiva.

Passo 5

Parte ©: Campo elétrico a uma distância radial E = 0
Nesta região, estamos dentro da barra condutora. Para condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior é zero.
Então, diretamente sabemos que:

Passo 6

Parte (D): Carga nas superfícies interna e externa da casca
A casca cilíndrica tem carga total Qexterna = Q2 - Qinterna = -3q - (-q) = -2q . Em equilíbrio eletrostático, a carga em um condutor se distribui nas superfícies.
  • Superfície interna da casca ( ): Deve neutralizar a carga da barra. Como a carga da barra é , a carga na superfície interna será para que o campo no interior da casca seja zero.
  • Superfície externa da casca ( ): A carga total da casca é . Como já temos na superfície interna, a superfície externa terá:

Resposta

(A) Para , o campo elétrico é , apontando para dentro.
(B) Para , o campo elétrico é , apontando para fora.
© Para , o campo elétrico é .
(D) Na casca cilíndrica, a carga na superfície interna é e na superfície externa é .

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