Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.

Passo 1

Vamos lá! O problema que temos aqui é calcular a integral . Essa é uma questão do conteúdo de cálculo integral, que basicamente consiste em encontrar funções cujo derivado nos dá a função que temos. Para resolver essa integral, vamos precisar saber a forma correta de lidar com potências e fazer as substituições necessárias.

Passo 2

A primeira coisa que a gente precisa lembrar é que pode ser reescrito usando potências. Isso fica assim: . Então, a nossa integral pode ser reescrita como:
Agora, para integrar , vamos usar a regra da potência da integral. Essa regra diz que para integrar , você adiciona 1 ao expoente e divide pelo novo expoente, desde que ele não seja -1. Portanto, teremos:
Simplificando, ficamos com:
Isso se traduz em:
onde é a constante de integração que adicionamos sempre que integramos, porque as integrais podem ter infinitas soluções que diferem por uma constante.

Passo 3

Agora que temos a integral, vamos fazer o passo extra que é derivar o resultado para confirmar que encontramos a resposta certa. Então, vamos derivar . Para isso, usamos a regra da derivada de potências. Derivando , que pode ser escrito como , obtemos:
Isso confirma que a nossa integral estava correta!

Resposta

A integral é , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Um cilindro isolante de comprimento infinito e de raio é carregado com uma densidade volumétrica uniforme . Calcule a intensidade do campo elétrico uma distância do eixo do cilindro para:
(A) ; e (B) .
Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio comprimento está carregada com carga . Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio e de mesmo comprimento . A casca cilíndrica está carregada com uma carga . Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
© o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
Durante as suas férias em uma llha paradisíaca você resolveu que queria mergulhar e ver os peixes no fundo do mar. Você então mergulha descendo no mar até uma profundidade de 15 metros (Figura). Sendo a densidade da água do mar de 1,02 sabendo que nessa ilha, a pressão atmosférica ao nível do mar é de , determine a pressão suportada pelo seu corpo na parte mais profunda do seu mergulho (Use a aceleração da gravidade igual a ).
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