Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Passo 1
Vamos lá! O problema que temos aqui é calcular a integral
. Essa é uma questão do conteúdo de cálculo integral, que basicamente consiste em encontrar funções cujo derivado nos dá a função que temos. Para resolver essa integral, vamos precisar saber a forma correta de lidar com potências e fazer as substituições necessárias.
Passo 2
A primeira coisa que a gente precisa lembrar é que
pode ser reescrito usando potências. Isso fica assim:
. Então, a nossa integral pode ser reescrita como:
Agora, para integrar
, vamos usar a regra da potência da integral. Essa regra diz que para integrar
, você adiciona 1 ao expoente e divide pelo novo expoente, desde que ele não seja -1. Portanto, teremos:
Simplificando, ficamos com:
Isso se traduz em:
onde
é a constante de integração que adicionamos sempre que integramos, porque as integrais podem ter infinitas soluções que diferem por uma constante.
Passo 3
Agora que temos a integral, vamos fazer o passo extra que é derivar o resultado para confirmar que encontramos a resposta certa. Então, vamos derivar
. Para isso, usamos a regra da derivada de potências. Derivando
, que pode ser escrito como
, obtemos:
Isso confirma que a nossa integral estava correta!
Resposta
A integral
é
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Um cilindro isolante de comprimento infinito e de raio
é carregado com uma densidade volumétrica uniforme
. Calcule a intensidade do campo elétrico uma distância
do eixo do cilindro para:
(A) ; e (B)
.
(A)
Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
comprimento
está carregada com carga
. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e de mesmo comprimento
. A casca cilíndrica está carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
© o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial
© o vetor campo elétrico a uma distância radial
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
Durante as suas férias em uma llha paradisíaca você resolveu que queria mergulhar e ver os peixes no fundo do mar. Você então mergulha descendo no mar até uma profundidade de 15 metros (Figura). Sendo a densidade da água do mar de 1,02
sabendo que nessa ilha, a pressão atmosférica ao nível do mar é de
, determine a pressão suportada pelo seu corpo na parte mais profunda do seu mergulho (Use a aceleração da gravidade igual a
).
Durante as suas férias em uma llha paradisíaca você resolveu que queria mergulhar e ver os peixes no fundo do mar. Você então mergulha descendo no mar até uma profundidade de 15 metros (Figura). Sendo a densidade da água do mar de 1,02
sabendo que nessa ilha, a pressão atmosférica ao nível do mar é de
, determine a pressão suportada pelo seu corpo na parte mais profunda do seu mergulho (Use a aceleração da gravidade igual a
).