Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral 1x^2 d x

Passo 1

Vamos lá! O problema que temos aqui é calcular a integral integral 1x^2 dx. Essa é uma questão do conteúdo de cálculo integral, que basicamente consiste em encontrar funções cujo derivado nos dá a função que temos. Para resolver essa integral, vamos precisar saber a forma correta de lidar com potências e fazer as substituições necessárias.

Passo 2

A primeira coisa que a gente precisa lembrar é que 1x^2 pode ser reescrito usando potências. Isso fica assim: x^-2. Então, a nossa integral pode ser reescrita como:
integral x^-2 dx
Agora, para integrar x^-2, vamos usar a regra da potência da integral. Essa regra diz que para integrar x^n, você adiciona 1 ao expoente e divide pelo novo expoente, desde que ele não seja -1. Portanto, teremos:
integral x^-2 dx = x^-2 + 1-2 + 1 + C
Simplificando, ficamos com:
integral x^-2 dx = x^-1-1 + C
Isso se traduz em:
integral x^-2 dx = -1x + C
onde C é a constante de integração que adicionamos sempre que integramos, porque as integrais podem ter infinitas soluções que diferem por uma constante.

Passo 3

Agora que temos a integral, vamos fazer o passo extra que é derivar o resultado para confirmar que encontramos a resposta certa. Então, vamos derivar -1x + C. Para isso, usamos a regra da derivada de potências. Derivando -1x, que pode ser escrito como -x^-1, obtemos:
ddx ( -x^-1 ) = -(-1) x^-2 = 1x^2
Isso confirma que a nossa integral estava correta!

Resposta

A integral integral 1x^2 dx é -1x + C, onde C é a constante de integração.

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