Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Passo 1
Vamos lá! O problema que temos aqui é calcular a integral
. Essa é uma questão do conteúdo de cálculo integral, que basicamente consiste em encontrar funções cujo derivado nos dá a função que temos. Para resolver essa integral, vamos precisar saber a forma correta de lidar com potências e fazer as substituições necessárias.
Passo 2
A primeira coisa que a gente precisa lembrar é que
pode ser reescrito usando potências. Isso fica assim:
. Então, a nossa integral pode ser reescrita como:
Agora, para integrar
, vamos usar a regra da potência da integral. Essa regra diz que para integrar
, você adiciona 1 ao expoente e divide pelo novo expoente, desde que ele não seja -1. Portanto, teremos:
Simplificando, ficamos com:
Isso se traduz em:
onde
é a constante de integração que adicionamos sempre que integramos, porque as integrais podem ter infinitas soluções que diferem por uma constante.
Passo 3
Agora que temos a integral, vamos fazer o passo extra que é derivar o resultado para confirmar que encontramos a resposta certa. Então, vamos derivar
. Para isso, usamos a regra da derivada de potências. Derivando
, que pode ser escrito como
, obtemos:
Isso confirma que a nossa integral estava correta!
Resposta
A integral
é
, onde
é a constante de integração.