Um cilindro isolante de comprimento infinito e de raio é carregado com uma densidade volumétrica uniforme . Calcule a intensidade do campo elétrico uma distância do eixo do cilindro para:
(A) ; e (B) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro infinito, ou seja, que se estende para sempre, com raio e uma densidade de carga volumétrica uniforme . O objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico a uma distância do eixo do cilindro para dois casos: quando é menor que (dentro do cilindro) e quando é maior que (fora do cilindro). Para resolver isso, vamos usar o conceito de Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para encontrar campos elétricos com alta simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . Matematicamente, é expressa como:
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície Gaussiana,
  • é a carga total dentro da superfície.
Vamos usar essa lei para encontrar o campo elétrico em ambas as regiões.

Passo 3

Vamos começar com o caso onde , ou seja, dentro do cilindro. Para aplicar a Lei de Gauss aqui, precisamos escolher uma superfície Gaussiana adequada. Devido à simetria do problema, escolhemos um cilindro coaxial de raio e comprimento como nossa superfície Gaussiana.
A simetria cilíndrica nos diz que o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos na superfície Gaussiana e será perpendicular à superfície lateral do cilindro. Portanto, o fluxo elétrico através das tampas superior e inferior do cilindro Gaussiano será zero, pois o campo elétrico é paralelo a essas superfícies.

Passo 4

Agora, calculamos o fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro Gaussiano. Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular à superfície lateral, o fluxo é simplesmente:
Onde é a área lateral do cilindro Gaussiano.

Passo 5

Em seguida, calculamos a carga total dentro da superfície Gaussiana. Como a densidade de carga volumétrica é uniforme , a carga dentro do raio é:

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
Agora, podemos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 7

Simplificando a equação:
Então, dentro do cilindro ( ), o campo elétrico aumenta linearmente com a distância a partir do eixo.

Passo 8

Agora, vamos para o caso onde , ou seja, fora do cilindro. Novamente, escolhemos uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio e comprimento .
Dessa vez, toda a carga do cilindro está dentro da superfície Gaussiana, já que .

Passo 9

Calculamos o fluxo elétrico novamente:
E a carga total dentro da superfície Gaussiana é agora a carga total do cilindro:

Passo 10

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 11

Simplificando a equação:
Então, fora do cilindro ( ), o campo elétrico diminui inversamente com a distância a partir do eixo.

Resposta

(A) Para , o campo elétrico é dado por:
(B) Para , o campo elétrico é dado por:

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Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio comprimento está carregada com carga . Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio e de mesmo comprimento . A casca cilíndrica está carregada com uma carga . Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
© o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
No que segue, e representarão constantes reais e . Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Durante as suas férias em uma llha paradisíaca você resolveu que queria mergulhar e ver os peixes no fundo do mar. Você então mergulha descendo no mar até uma profundidade de 15 metros (Figura). Sendo a densidade da água do mar de 1,02 sabendo que nessa ilha, a pressão atmosférica ao nível do mar é de , determine a pressão suportada pelo seu corpo na parte mais profunda do seu mergulho (Use a aceleração da gravidade igual a ).