Um cilindro isolante de comprimento infinito e de raio
é carregado com uma densidade volumétrica uniforme
. Calcule a intensidade do campo elétrico uma distância
do eixo do cilindro para:
(A)
; e (B)
.
(A)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro infinito, ou seja, que se estende para sempre, com raio
e uma densidade de carga volumétrica uniforme
. O objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico a uma distância
do eixo do cilindro para dois casos: quando
é menor que
(dentro do cilindro) e quando
é maior que
(fora do cilindro). Para resolver isso, vamos usar o conceito de Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para encontrar campos elétricos com alta simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. Matematicamente, é expressa como:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície Gaussiana, -
é a carga total dentro da superfície.
Vamos usar essa lei para encontrar o campo elétrico em ambas as regiões.
Passo 3
Vamos começar com o caso onde
, ou seja, dentro do cilindro. Para aplicar a Lei de Gauss aqui, precisamos escolher uma superfície Gaussiana adequada. Devido à simetria do problema, escolhemos um cilindro coaxial de raio
e comprimento
como nossa superfície Gaussiana.
A simetria cilíndrica nos diz que o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos na superfície Gaussiana e será perpendicular à superfície lateral do cilindro. Portanto, o fluxo elétrico através das tampas superior e inferior do cilindro Gaussiano será zero, pois o campo elétrico é paralelo a essas superfícies.
Passo 4
Agora, calculamos o fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro Gaussiano. Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular à superfície lateral, o fluxo é simplesmente:
Onde
é a área lateral do cilindro Gaussiano.
Passo 5
Em seguida, calculamos a carga total
dentro da superfície Gaussiana. Como a densidade de carga volumétrica é uniforme
, a carga dentro do raio
é:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Agora, podemos simplificar essa equação para encontrar
.
Passo 7
Simplificando a equação:
Então, dentro do cilindro (
), o campo elétrico aumenta linearmente com a distância
a partir do eixo.
Passo 8
Agora, vamos para o caso onde
, ou seja, fora do cilindro. Novamente, escolhemos uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
.
Dessa vez, toda a carga do cilindro está dentro da superfície Gaussiana, já que
.
Passo 9
Calculamos o fluxo elétrico novamente:
E a carga total dentro da superfície Gaussiana é agora a carga total do cilindro:
Passo 10
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Vamos simplificar essa equação para encontrar
.
Passo 11
Simplificando a equação:
Então, fora do cilindro (
), o campo elétrico diminui inversamente com a distância
a partir do eixo.
Resposta
(A) Para
, o campo elétrico é dado por:
(B) Para
, o campo elétrico é dado por:
Exercícios relacionados
Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
comprimento
está carregada com carga
. Ela é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e de mesmo comprimento
. A casca cilíndrica está carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
© o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
(A) o vetor campo elétrico a uma distância radial
(B) o vetor campo elétrico a uma distância radial
© o vetor campo elétrico a uma distância radial
(D) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
(Lembre-se para determinar completamente um vetor é
necessário indicar o módulo, a direçã o e o sentido do mesmo)
No que segue,
e
representarão constantes reais e
. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Durante as suas férias em uma llha paradisíaca você resolveu que queria mergulhar e ver os peixes no fundo do mar. Você então mergulha descendo no mar até uma profundidade de 15 metros (Figura). Sendo a densidade da água do mar de 1,02
sabendo que nessa ilha, a pressão atmosférica ao nível do mar é de
, determine a pressão suportada pelo seu corpo na parte mais profunda do seu mergulho (Use a aceleração da gravidade igual a
).