Um cilindro isolante de comprimento infinito e de raio R é carregado com uma densidade volumétrica uniforme rho. Calcule a intensidade do campo elétrico uma distância r do eixo do cilindro para:
(A) r; e (B) r>R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro infinito, ou seja, que se estende para sempre, com raio R e uma densidade de carga volumétrica uniforme rho. O objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro para dois casos: quando r é menor que R (dentro do cilindro) e quando r é maior que R (fora do cilindro). Para resolver isso, vamos usar o conceito de Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para encontrar campos elétricos com alta simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. Matematicamente, é expressa como:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • dA é um elemento de área da superfície Gaussiana,
  • Qinterno é a carga total dentro da superfície.
Vamos usar essa lei para encontrar o campo elétrico em ambas as regiões.

Passo 3

Vamos começar com o caso onde r < R, ou seja, dentro do cilindro. Para aplicar a Lei de Gauss aqui, precisamos escolher uma superfície Gaussiana adequada. Devido à simetria do problema, escolhemos um cilindro coaxial de raio r e comprimento L como nossa superfície Gaussiana.
A simetria cilíndrica nos diz que o campo elétrico E terá a mesma magnitude em todos os pontos na superfície Gaussiana e será perpendicular à superfície lateral do cilindro. Portanto, o fluxo elétrico através das tampas superior e inferior do cilindro Gaussiano será zero, pois o campo elétrico é paralelo a essas superfícies.

Passo 4

Agora, calculamos o fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro Gaussiano. Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular à superfície lateral, o fluxo é simplesmente:
Phi = E cdot (2pi r L)
Onde 2pi r L é a área lateral do cilindro Gaussiano.

Passo 5

Em seguida, calculamos a carga total Qinterno dentro da superfície Gaussiana. Como a densidade de carga volumétrica é uniforme rho, a carga dentro do raio r é:
Qinterno = rho cdot Volume = rho cdot (pi r^2 L)

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi r L) = rho cdot (pi r^2 L)varepsilon0
Agora, podemos simplificar essa equação para encontrar E.

Passo 7

Simplificando a equação:
E = rho cdot r2 varepsilon0
Então, dentro do cilindro ( r < R), o campo elétrico aumenta linearmente com a distância r a partir do eixo.

Passo 8

Agora, vamos para o caso onde r > R, ou seja, fora do cilindro. Novamente, escolhemos uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L.
Dessa vez, toda a carga do cilindro está dentro da superfície Gaussiana, já que r > R.

Passo 9

Calculamos o fluxo elétrico novamente:
Phi = E cdot (2pi r L)
E a carga total dentro da superfície Gaussiana é agora a carga total do cilindro:
Qinterno = rho cdot (pi R^2 L)

Passo 10

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
E cdot (2pi r L) = rho cdot (pi R^2 L)varepsilon0
Vamos simplificar essa equação para encontrar E.

Passo 11

Simplificando a equação:
E = rho R^22 varepsilon0 r
Então, fora do cilindro ( r > R), o campo elétrico diminui inversamente com a distância r a partir do eixo.

Resposta

(A) Para r < R, o campo elétrico é dado por:
E = rho cdot r2 varepsilon0
(B) Para r > R, o campo elétrico é dado por:
E = rho R^22 varepsilon0 r

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