Uma barra circular de aço está submetida a uma carga de torção que varia de 450 a 2000 Nm . O material da barra apresenta Sy=850 MPa e Su=1 GPa, seu acabamento é comercialmente polido e temperatura de operação é 525^circ C. Considerando um fator de segurança igual a 2, calcule o diâmetro da barra para uma vida infinita. Utilize o critério de Goodman.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra circular de aço submetida a uma carga de torção que varia de 450 Nm a 2000 Nm. As propriedades do material são:
  • Tensão de escoamento ( Sy) = 850 MPa
  • Tensão última ( Su) = 1 GPa
Além disso, o acabamento da barra é polido comercialmente, a temperatura de operação é 525°C e queremos garantir uma vida infinita usando um fator de segurança de 2. Vamos usar o critério de Goodman para calcular o diâmetro necessário da barra.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos relacionar a carga de torção com o diâmetro da barra usando a teoria da fadiga. Como a carga de torção varia, precisamos considerar tanto a tensão alternada quanto a tensão média. O critério de Goodman nos ajuda a garantir que a combinação dessas tensões não exceda a resistência do material, levando em conta o fator de segurança.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o momento de torção alternado ( Ta) e o momento de torção médio ( Tm). A carga varia de 450 Nm a 2000 Nm, então:
Ta = Tmáx - Tmín2 = 2000 - 4502 = 775 , Nm áí
Tm = Tmáx + Tmín2 = 2000 + 4502 = 1225 , Nm áí

Passo 4

Agora, precisamos relacionar esses torques com as tensões de torção na barra. A fórmula para a tensão de torção ( tau) é:
tau = T cdot rJ
Onde:
  • T é o torque
  • r é o raio da barra
  • J é o momento polar de inércia, que para uma barra circular é pi d^432
Vamos reescrever a fórmula para tau em termos do diâmetro ( d):
tau = 16Tpi d^3

Passo 5

Aplicando o critério de Goodman, que relaciona a tensão alternada e a tensão média com as resistências do material, temos:
tauaSyNf + taumSu <= 1
Onde Nf é o fator de segurança, que neste caso é 2.

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos na equação de Goodman:
16Tapi d^3 cdot 1850 times 10^62 + 16Tmpi d^3 cdot 11 times 10^9 <= 1
Simplificando:
16 times 775pi d^3 times 425 times 10^6 + 16 times 1225pi d^3 times 1 times 10^9 <= 1

Passo 7

Calculando cada termo:
Primeiro termo:
16 times 775pi d^3 times 425 times 10^6 = 12400pi d^3 times 425 times 10^6 approx 124001.334 times 10^9 d^3 approx 9.29 times 10^-6d^3
Segundo termo:
16 times 1225pi d^3 times 1 times 10^9 = 19600pi d^3 times 1 times 10^9 approx 196003.142 times 10^9 d^3 approx 6.24 times 10^-6d^3

Passo 8

Somando os dois termos e igualando a 1:
9.29 times 10^-6d^3 + 6.24 times 10^-6d^3 <= 1
15.53 times 10^-6d^3 <= 1

Passo 9

Resolvendo para d^3:
d^3 >= 15.53 times 10^-6
d >= raiz[3]15.53 times 10^-6 approx 0.025 , m = 25 , mm

Resposta

O diâmetro mínimo da barra para garantir uma vida infinita, usando o critério de Goodman com fator de segurança 2, é de 25 mm.

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