Um eixo de uma bomba centrífuga para bombeamento de água do mar é submetido a uma força axial de -1500 N a +7500 N . Se o eixo é de aço, onde Sy=0,8 GPa e Su=1,0 GPa, e fator de segurança é igual a 1,5, calcule: O diâmetro para vida infinita. Utilize o critério de Goodman

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um eixo de uma bomba centrífuga que bombeia água do mar, e esse eixo está sofrendo uma força axial que varia de -1500 N a +7500 N. O material do eixo é aço, com limite de escoamento ( Sy) de 0,8 GPa e resistência última ( Su) de 1,0 GPa. Queremos encontrar o diâmetro desse eixo que garanta uma vida infinitamente segura, usando o critério de Goodman e considerando um fator de segurança de 1,5. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de tensão axial, fadiga, e como aplicar o critério de Goodman para dimensionamento de componentes mecânicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam no eixo. A força axial varia entre -1500 N e +7500 N, o que significa que há uma variação de carga ao longo do tempo, essencialmente causando uma tensão alternada no eixo. Para projetar o diâmetro, precisamos calcular as tensões alternada ( sigmaa) e média ( sigmam) resultantes dessas forças.

Passo 3

Calculando a tensão alternada ( sigmaa) e a tensão média ( sigmam):
A tensão média é calculada pela média aritmética das cargas máxima e mínima:
sigmam = Fmáx + Fmín2A áí
A tensão alternada é a metade da amplitude da carga:
sigmaa = Fmáx - Fmín2A áí
Onde A é a área da seção transversal do eixo, que depende do diâmetro que vamos calcular.

Passo 4

Como estamos procurando o diâmetro, precisamos relacionar a tensão com o diâmetro. A área da seção transversal para um eixo circular é:
A = pi d^24
Onde d é o diâmetro que queremos encontrar.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o critério de Goodman, que relaciona as tensões alternada e média com as propriedades do material e o fator de segurança. A fórmula do critério de Goodman é:
sigmaasigmae + sigmamsigmau = 1FS
Onde:
  • sigmae é a tensão de endurecimento (usaremos o limite de resistência à fadiga para vida infinita, que pode ser aproximado como 0.5 sigmau para materiais metálicos)
  • sigmau é a resistência última
  • FS é o fator de segurança

Passo 6

Primeiro, vamos calcular sigmae:
sigmae = 0.5 sigmau = 0.5 times 1.0 , GPa = 0.5 times 10^9 , Pa = 5 times 10^8 , Pa

Passo 7

Substituindo sigmae na equação de Goodman:
sigmaa5 times 10^8 + sigmam1.0 times 10^9 = 11.5
Simplificando:
sigmaa5 times 10^8 + sigmam1 times 10^9 = 0.6667

Passo 8

Agora, expressamos sigmaa e sigmam em termos de Fmáxá, Fmíní e d:
sigmam = Fmáx + Fmín2A = 7500 - 15002 times pi d^24 = 6000pi d^22 = 6000 times 2pi d^2 = 12000pi d^2 áí
sigmaa = Fmáx - Fmín2A = 7500 - (-1500)2 times pi d^24 = 9000pi d^22 = 9000 times 2pi d^2 = 18000pi d^2 áí

Passo 9

Substituindo sigmaa e sigmam na equação de Goodman:
18000pi d^25 times 10^8 + 12000pi d^21 times 10^9 = 0.6667
Simplificando:
180005 times 10^8 times pi d^2 + 120001 times 10^9 times pi d^2 = 0.6667
180005 times 10^8 pi d^2 + 120001 times 10^9 pi d^2 = 0.6667

Passo 10

Vamos multiplicar ambos os lados por pi d^2 para simplificar:
180005 times 10^8 + 120001 times 10^9 = 0.6667 pi d^2
Calculando os termos à esquerda:
180005 times 10^8 = 3.6 times 10^-5 , Pa^-1
120001 times 10^9 = 1.2 times 10^-5 , Pa^-1
Somando:
3.6 times 10^-5 + 1.2 times 10^-5 = 4.8 times 10^-5 , Pa^-1
Então:
4.8 times 10^-5 = 0.6667 pi d^2

Passo 11

Agora, isolamos d^2:
d^2 = 4.8 times 10^-50.6667 pi
Calculando o denominador:
0.6667 pi approx 0.6667 times 3.1416 approx 2.094
Então:
d^2 = 4.8 times 10^-52.094 approx 2.291 times 10^-5 , m^2

Passo 12

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar d:
d = raiz2.291 times 10^-5 approx 0.004785 , m = 4.785 , mm

Resposta

O diâmetro necessário para o eixo ter vida infinita, considerando o critério de Goodman e um fator de segurança de 1,5, é de aproximadamente 4,79 mm.

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