Um eixo de uma bomba centrífuga para bombeamento de água do mar é submetido a uma força axial de -1500 N a +7500 N . Se o eixo é de aço, onde e GPa, e fator de segurança é igual a 1,5, calcule: O diâmetro para vida infinita. Utilize o critério de Goodman

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um eixo de uma bomba centrífuga que bombeia água do mar, e esse eixo está sofrendo uma força axial que varia de -1500 N a +7500 N. O material do eixo é aço, com limite de escoamento ( ) de 0,8 GPa e resistência última ( ) de 1,0 GPa. Queremos encontrar o diâmetro desse eixo que garanta uma vida infinitamente segura, usando o critério de Goodman e considerando um fator de segurança de 1,5. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de tensão axial, fadiga, e como aplicar o critério de Goodman para dimensionamento de componentes mecânicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam no eixo. A força axial varia entre -1500 N e +7500 N, o que significa que há uma variação de carga ao longo do tempo, essencialmente causando uma tensão alternada no eixo. Para projetar o diâmetro, precisamos calcular as tensões alternada ( ) e média ( ) resultantes dessas forças.

Passo 3

Calculando a tensão alternada ( ) e a tensão média ( ):
A tensão média é calculada pela média aritmética das cargas máxima e mínima:
áí
A tensão alternada é a metade da amplitude da carga:
áí
Onde é a área da seção transversal do eixo, que depende do diâmetro que vamos calcular.

Passo 4

Como estamos procurando o diâmetro, precisamos relacionar a tensão com o diâmetro. A área da seção transversal para um eixo circular é:
Onde é o diâmetro que queremos encontrar.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o critério de Goodman, que relaciona as tensões alternada e média com as propriedades do material e o fator de segurança. A fórmula do critério de Goodman é:
Onde:
  • é a tensão de endurecimento (usaremos o limite de resistência à fadiga para vida infinita, que pode ser aproximado como para materiais metálicos)
  • é a resistência última
  • FS é o fator de segurança

Passo 6

Primeiro, vamos calcular :

Passo 7

Substituindo na equação de Goodman:
Simplificando:

Passo 8

Agora, expressamos e em termos de á, í e :
áí
áí

Passo 9

Substituindo e na equação de Goodman:
Simplificando:

Passo 10

Vamos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Calculando os termos à esquerda:
Somando:
Então:

Passo 11

Agora, isolamos :
Calculando o denominador:
Então:

Passo 12

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

O diâmetro necessário para o eixo ter vida infinita, considerando o critério de Goodman e um fator de segurança de 1,5, é de aproximadamente 4,79 mm.

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