Um eixo de uma bomba centrífuga para bombeamento de água do mar é submetido a uma força axial de -1500 N a +7500 N . Se o eixo é de aço, onde Sy=0,8 GPa e Su=1,0 GPa, e fator de segurança é igual a 1,5, calcule: O diâmetro para vida de 10^3 ciclos. Utilize o critério de Goodman

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo de uma bomba que está passando por forças axiais que variam de -1500 N a +7500 N. Nosso objetivo é descobrir qual o diâmetro desse eixo para que ele dure 1000 ciclos sem falhar, usando o critério de Goodman. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fadiga de materiais e o critério de Goodman, além de usar as propriedades do aço fornecidas: limite de escoamento ( Sy) de 0,8 GPa e resistência última ( Su) de 1,0 GPa. Também temos um fator de segurança de 1,5.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que agem no eixo. Temos uma força que varia entre -1500 N e +7500 N. Isso significa que a força variável ( Fa) é a metade da diferença entre o valor máximo e mínimo:
Fa = Fmáx - Fmín2 = 7500,N - (-1500,N)2 = 9000,N2 = 4500,N áí
E a força média ( Fm) é a média entre o valor máximo e mínimo:
Fm = Fmáx + Fmín2 = 7500,N + (-1500,N)2 = 6000,N2 = 3000,N áí

Passo 3

Agora, vamos calcular as tensões correspondentes a essas forças. A tensão é dada por:
sigma = FA
Onde A é a área da seção transversal do eixo. Como o eixo é circular, a área pode ser expressa em termos do diâmetro ( d):
A = pi d^24
Portanto, a tensão média ( sigmam) e a tensão alternada ( sigmaa) são:
sigmam = FmA = 4Fmpi d^2
sigmaa = FaA = 4Fapi d^2

Passo 4

Vamos utilizar o critério de Goodman para fadiga, que relaciona a tensão média e a tensão alternada com a resistência do material. A fórmula do critério de Goodman é:
sigmaasigmae + sigmamsigmau <= 1Fator de Segurança ç
Onde:
  • sigmae é a tensão de endurecimento para vida de fadiga específica.
  • sigmau é a resistência última do material.
Para simplificar, vamos assumir que sigmae = sigmay, que é o limite de escoamento. Então:
sigmae = sigmay = 0,8,GPa = 800,MPa

Passo 5

Substituindo as expressões das tensões na fórmula de Goodman:
4Fapi d^2sigmae + 4Fmpi d^2sigmau <= 1Fator de Segurança ç
Simplificando:
4Fapi d^2 sigmae + 4Fmpi d^2 sigmau <= 11,5
Vamos fatorar 4pi d^2:
4pi d^2 ( Fasigmae + Fmsigmau ) <= 23

Passo 6

Agora, isolamos d^2:
d^2 >= 4pi ( Fasigmae + Fmsigmau ) times 32
Calculando os valores:
Fasigmae = 4500,N800 times 10^6,N/m^2 = 5,625 times 10^-5,m^2
Fmsigmau = 3000,N1,0 times 10^9,N/m^2 = 3 times 10^-6,m^2
Somando:
Fasigmae + Fmsigmau = 5,625 times 10^-5 + 3 times 10^-6 = 5,925 times 10^-5,m^2

Passo 7

Substituindo de volta:
d^2 >= 4pi times 5,925 times 10^-5 times 32 = 4 times 5,925 times 10^-5 times 1,5pi = 3,555 times 10^-4pi approx 1,131 times 10^-4,m^2

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar o diâmetro:
d >= raiz1,131 times 10^-4 approx 0,01063,m = 10,63,mm

Resposta

O diâmetro mínimo do eixo necessário para uma vida de 10^3 ciclos, seguindo o critério de Goodman, é de aproximadamente 10,63 mm.

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