Uma barra condutora de calor de comprimento
está termicamente isolada sobre sua superfície lateral e seus extremos são mantidos a temperatura zero
. Se a temperatura inicial é
, mostre que:
Use a equação (4) acima.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma barra que conduz calor, com comprimento
, e ela tá isolada nas laterais, ou seja, não troca calor com o ambiente por fora. As extremidades da barra estão sempre na temperatura zero, independente do tempo. A temperatura inicial ao longo da barra é dada pela função
. Nosso objetivo é mostrar que a temperatura
em qualquer ponto
e tempo
pode ser expressa por uma série infinita da forma:
Para resolver isso, vamos usar a equação (4) mencionada, que provavelmente é a solução geral da equação do calor usando a separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor para uma barra condutora é dada por:
Aqui,
é a temperatura na posição
e no tempo
, e
é a difusividade térmica do material.
Passo 3
Como as extremidades da barra estão mantidas em temperatura zero (
), isso nos dá as condições de contorno. Além disso, a condição inicial é
.
Para resolver essa equação diferencial parcial, usamos a técnica de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como produto de uma função de
e uma função de
:
.
Passo 4
Aplicando a separação de variáveis, substituímos
na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora temos duas equações ordinárias:
- Para
:
A solução geral dessa equação é:
- Para
:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas.
Passo 6
Aplicando as condi��ões de contorno
na equação de
, encontramos que as soluções não triviais existem apenas para valores específicos de
. Esses valores são:
E as funções próprias correspondentes são:
Passo 7
Portanto, as soluções particulares da equação do calor são da forma:
A solução geral é uma combinação linear dessas soluções particulares:
Passo 8
Agora, determinamos os coeficientes
usando a condição inicial
:
Isso é uma série de Fourier para a função
. Os coeficientes
são dados por:
Passo 9
Substituindo
na solução geral, obtemos:
Podemos reescrever isso de forma mais organizada:
Resposta
Assim, mostramos que a temperatura
na barra está dada por:
Exercícios relacionados
Use a transformada de Fourier e o teorema da convolução para resolver a equação
onde
e
é uma constante. As condições de contorno e inicias são, respectivamente,
e
.
Considere a função
para
e zero no resto. Mostre que a transformada de Fourier de
é:
Considere a seguinte equação diferencial:
onde
e
são constantes. Aplique a transformada de Fourier, resolva a equação e depois forneça uma expressão explicita para a solução
. Assuma que
.
Considere um cubo
feito de um material sólido condutor de calor. Uma das faces
está mantida a temperatura constante
, enquanto que as outras cinco faces são mantidas a temperatura zero. Suponha que desejamos obter a distribuição de temperatura independente do tempo. Use coordenadas cartesianas com um dos vértices na origem, formule as condições contorno apropriadas e resolva a equação
. Mostre que a solução achada é igual ou equivalente a:
onde
.