Uma barra condutora de calor de comprimento está termicamente isolada sobre sua superfície lateral e seus extremos são mantidos a temperatura zero . Se a temperatura inicial é , mostre que:
Use a equação (4) acima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma barra que conduz calor, com comprimento , e ela tá isolada nas laterais, ou seja, não troca calor com o ambiente por fora. As extremidades da barra estão sempre na temperatura zero, independente do tempo. A temperatura inicial ao longo da barra é dada pela função . Nosso objetivo é mostrar que a temperatura em qualquer ponto e tempo pode ser expressa por uma série infinita da forma:
Para resolver isso, vamos usar a equação (4) mencionada, que provavelmente é a solução geral da equação do calor usando a separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor para uma barra condutora é dada por:
Aqui, é a temperatura na posição e no tempo , e é a difusividade térmica do material.

Passo 3

Como as extremidades da barra estão mantidas em temperatura zero ( ), isso nos dá as condições de contorno. Além disso, a condição inicial é .
Para resolver essa equação diferencial parcial, usamos a técnica de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como produto de uma função de e uma função de : .

Passo 4

Aplicando a separação de variáveis, substituímos na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 5

Agora temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
A solução geral dessa equação é:
  1. Para :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas.

Passo 6

Aplicando as condi��ões de contorno na equação de , encontramos que as soluções não triviais existem apenas para valores específicos de . Esses valores são:
E as funções próprias correspondentes são:

Passo 7

Portanto, as soluções particulares da equação do calor são da forma:
A solução geral é uma combinação linear dessas soluções particulares:

Passo 8

Agora, determinamos os coeficientes usando a condição inicial :
Isso é uma série de Fourier para a função . Os coeficientes são dados por:

Passo 9

Substituindo na solução geral, obtemos:
Podemos reescrever isso de forma mais organizada:

Resposta

Assim, mostramos que a temperatura na barra está dada por:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Fourier e o teorema da convolução para resolver a equação
onde e é uma constante. As condições de contorno e inicias são, respectivamente, e .
Considere a função para e zero no resto. Mostre que a transformada de Fourier de é:
Considere a seguinte equação diferencial:
onde e são constantes. Aplique a transformada de Fourier, resolva a equação e depois forneça uma expressão explicita para a solução . Assuma que .
Considere um cubo feito de um material sólido condutor de calor. Uma das faces está mantida a temperatura constante , enquanto que as outras cinco faces são mantidas a temperatura zero. Suponha que desejamos obter a distribuição de temperatura independente do tempo. Use coordenadas cartesianas com um dos vértices na origem, formule as condições contorno apropriadas e resolva a equação . Mostre que a solução achada é igual ou equivalente a:
onde .