Uma barra condutora de calor de comprimento L está termicamente isolada sobre sua superfície lateral e seus extremos são mantidos a temperatura zero forall t. Se a temperatura inicial é u(x, 0)=f(x), mostre que:
u(x, t)=2L sumn=1^infty e^-(n pi a / L)^2 t sin n pi xL integral0^L f(xi) sin n pi xiL d xi
Use a equação (4) acima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma barra que conduz calor, com comprimento u(x, t) = 2L sumn=1^infty e^-(n pi aL)^2 t sin(n pi xL) integral0^L f(xi) sin(n pi xiL) dxi , e ela tá isolada nas laterais, ou seja, não troca calor com o ambiente por fora. As extremidades da barra estão sempre na temperatura zero, independente do tempo. A temperatura inicial ao longo da barra é dada pela função . Nosso objetivo é mostrar que a temperatura em qualquer ponto e tempo pode ser expressa por uma série infinita da forma:
Para resolver isso, vamos usar a equação (4) mencionada, que provavelmente é a solução geral da equação do calor usando a separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor para uma barra condutora é dada por:
partial upartial t = a^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, é a temperatura na posição e no tempo , e é a difusividade térmica do material.

Passo 3

Como as extremidades da barra estão mantidas em temperatura zero ( ), isso nos dá as condições de contorno. Além disso, a condição inicial é .
Para resolver essa equação diferencial parcial, usamos a técnica de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como produto de uma função de e uma função de : .

Passo 4

Aplicando a separação de variáveis, substituímos X(x) dTdt = a^2 T(t) d^2Xdx^2 na equação do calor:
1a^2 T(t) dTdt = 1X(x) d^2Xdx^2 = -lambda
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 5

Agora temos duas equações ordinárias:
  1. Para dTdt + a^2 lambda T = 0 :
T(t) = C e^-a^2 lambda t
A solução geral dessa equação é:
d^2Xdx^2 + lambda X = 0
  1. Para :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas.

Passo 6

Aplicando as condi��ões de contorno lambdan = (n piL)^2 para n = 1, 2, 3, dots na equação de Xn(x) = sin(n pi xL) , encontramos que as soluções não triviais existem apenas para valores específicos de . Esses valores são:
E as funções próprias correspondentes são:

Passo 7

Portanto, as soluções particulares da equação do calor são da forma:
un(x, t) = sin(n pi xL) e^-a^2 (n piL)^2 t
A solução geral é uma combinação linear dessas soluções particulares:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(n pi xL) e^-a^2 (n piL)^2 t

Passo 8

Agora, determinamos os coeficientes f(x) = sumn=1^infty Bn sin(n pi xL) usando a condição inicial Bn = 2L integral0^L f(xi) sin(n pi xiL) dxi :
Isso é uma série de Fourier para a função . Os coeficientes são dados por:

Passo 9

Substituindo u(x, t) = sumn=1^infty [ 2L integral0^L f(xi) sin(n pi xiL) dxi ] sin(n pi xL) e^-a^2 (n piL)^2 t na solução geral, obtemos:
u(x, t) = 2L sumn=1^infty e^-(n pi aL)^2 t sin(n pi xL) integral0^L f(xi) sin(n pi xiL) dxi
Podemos reescrever isso de forma mais organizada:

Resposta

Assim, mostramos que a temperatura u(x, t) = 2L sumn=1^infty e^-(n pi aL)^2 t sin(n pi xL) integral0^L f(xi) sin(n pi xiL) dxi na barra está dada por:

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