Use a transformada de Fourier e o teorema da convolução para resolver a equação
onde e é uma constante. As condições de contorno e inicias são, respectivamente, e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando a Transformada de Fourier e o Teorema da Convolução. A equação que temos é:
Aqui, descreve como algo muda no espaço e no tempo, é uma constante, e estamos trabalhando em todo o eixo real ( ). Para resolver, precisamos aplicar a transformada de Fourier na equação e usar o teorema da convolução para lidar com a transformada inversa mais tarde. Também vamos usar as condições de contorno e a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em relação a . A transformada de Fourier de uma função é definida como:
Ao aplicar isso na nossa equação, temos:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Fourier que transforma derivadas espaciais em multiplicação por .

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) para :
Essa é uma EDO linear que podemos resolver facilmente. A solução geral é:
Aqui, é a transformada de Fourier da condição inicial :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar retornando do espaço de Fourier para o espaço físico. Para isso, usamos a Transformada Inversa de Fourier:
Substituindo :

Passo 5

Vamos reescrever isso usando a convolução. Sabemos que o produto de duas transformadas de Fourier corresponde à convolução das funções originais. Assim, podemos escrever:
A integral é a transformada inversa de Fourier de , que resulta em uma função gaussiana.

Passo 6

Calculando a integral da função gaussiana, obtemos:
Portanto, a solução final fica:

Resposta

A solução da equação dada é:

Exercícios relacionados

Considere a função para e zero no resto. Mostre que a transformada de Fourier de é:
Um próton (massa ) está sendo acelerado em linha reta a em um acelerador de partículas.
Se o próton tem uma velocidade inicial de e se desloca , determine (a) a sua velocidade e (b) o aumento em sua energia cinética.
Uma barra condutora de calor de comprimento está termicamente isolada sobre sua superfície lateral e seus extremos são mantidos a temperatura zero . Se a temperatura inicial é , mostre que:
Use a equação (4) acima.
Considere a seguinte equação diferencial:
onde e são constantes. Aplique a transformada de Fourier, resolva a equação e depois forneça uma expressão explicita para a solução . Assuma que .