Use a transformada de Fourier e o teorema da convolução para resolver a equação
onde
e
é uma constante. As condições de contorno e inicias são, respectivamente,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando a Transformada de Fourier e o Teorema da Convolução. A equação que temos é:
Aqui,
descreve como algo muda no espaço e no tempo,
é uma constante, e estamos trabalhando em todo o eixo real (
). Para resolver, precisamos aplicar a transformada de Fourier na equação e usar o teorema da convolução para lidar com a transformada inversa mais tarde. Também vamos usar as condições de contorno
e a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em relação a
. A transformada de Fourier de uma função
é definida como:
Ao aplicar isso na nossa equação, temos:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Fourier que transforma derivadas espaciais em multiplicação por
.
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) para
:
Essa é uma EDO linear que podemos resolver facilmente. A solução geral é:
Aqui,
é a transformada de Fourier da condição inicial
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
retornando do espaço de Fourier para o espaço físico. Para isso, usamos a Transformada Inversa de Fourier:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos reescrever isso usando a convolução. Sabemos que o produto de duas transformadas de Fourier corresponde à convolução das funções originais. Assim, podemos escrever:
A integral
é a transformada inversa de Fourier de
, que resulta em uma função gaussiana.
Passo 6
Calculando a integral da função gaussiana, obtemos:
Portanto, a solução final fica:
Resposta
A solução da equação dada é: