Use a transformada de Fourier e o teorema da convolução para resolver a equação
partial upartial t=a^2 partial^2 upartial x^2
onde -infty e a é uma constante. As condições de contorno e inicias são, respectivamente, u( pm infty, t) 0 e u(x, 0)=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando a Transformada de Fourier e o Teorema da Convolução. A equação que temos é:
partial upartial t = a^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, descreve como algo muda no espaço e no tempo, é uma constante, e estamos trabalhando em todo o eixo real ( ). Para resolver, precisamos aplicar a transformada de Fourier na equação e usar o teorema da convolução para lidar com a transformada inversa mais tarde. Também vamos usar as condições de contorno e a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em relação a u(k, t) = integral-infty^infty u(x, t) e^-ikx , dx . A transformada de Fourier de uma função partial upartial t = -a^2 k^2 u é definida como:
Ao aplicar isso na nossa equação, temos:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Fourier que transforma derivadas espaciais em multiplicação por .

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) para partial upartial t = -a^2 k^2 u :
u(k, t) = u(k, 0) e^-a^2 k^2 t
Essa é uma EDO linear que podemos resolver facilmente. A solução geral é:
u(k, 0) = f(k) = integral-infty^infty f(x) e^-ikx , dx
Aqui, é a transformada de Fourier da condição inicial :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar u(x, t) = 12pi integral-infty^infty u(k, t) e^ikx , dk retornando do espaço de Fourier para o espaço físico. Para isso, usamos a Transformada Inversa de Fourier:
u(x, t) = 12pi integral-infty^infty f(k) e^-a^2 k^2 t e^ikx , dk
Substituindo :

Passo 5

Vamos reescrever isso usando a convolução. Sabemos que o produto de duas transformadas de Fourier corresponde à convolução das funções originais. Assim, podemos escrever:
u(x, t) = 12pi integral-infty^infty f(k) e^-a^2 k^2 t e^ikx , dk = f(x) * ( 12pi integral-infty^infty e^-a^2 k^2 t e^ikx , dk )
A integral é a transformada inversa de Fourier de , que resulta em uma função gaussiana.

Passo 6

Calculando a integral da função gaussiana, obtemos:
12pi integral-infty^infty e^-a^2 k^2 t e^ikx , dk = 12araizpi t e^-x^24a^2 t
Portanto, a solução final fica:
u(x, t) = 12araizpi t integral-infty^infty f(y) e^-(x - y)^24a^2 t , dy

Resposta

A solução da equação dada é:
u(x, t) = 12araizpi t integral-infty^infty f(y) e^-(x - y)^24a^2 t , dy

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