Considere a função para e zero no resto. Mostre que a transformada de Fourier de é:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Fourier da função definida no intervalo e zero fora desse intervalo. Vamos usar conceitos de transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para decompor funções em componentes de frequência. Para isso, vamos precisar integrar a função multiplicada por ao longo de todo o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da transformada de Fourier para :
Como é zero fora de , podemos simplificar os limites da integral:

Passo 3

Observamos que é uma função par, ou seja, . Isso nos permite simplificar a integral, já que o termo pode ser escrito usando funções trigonométricas:
Como a função é par e é ímpar, o termo com seno vai se anular na integral, ficando apenas a parte com cosseno:

Passo 4

Vamos agora resolver a integral:
Podemos distribuir o cosseno:
A primeira integral é simples:
A segunda integral requer o uso de integração por partes, onde escolhemos e . Assim, e . Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos as integrais de 0 a 2:
Simplificando:

Passo 5

Continuando a simplificação:
Usando a identidade trigonométrica:
Substituindo:

Resposta

Portanto, a transformada de Fourier da função é:

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