Considere a função para e zero no resto. Mostre que a transformada de Fourier de é:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Fourier da função definida no intervalo e zero fora desse intervalo. Vamos usar conceitos de transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para decompor funções em componentes de frequência. Para isso, vamos precisar integrar a função multiplicada por ao longo de todo o eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão da transformada de Fourier para F(k) = integral-infty^infty f(x) e^-ikx dx :
F(k) = integral-2^2 (1 - |x|2) e^-ikx dx
Como é zero fora de , podemos simplificar os limites da integral:
Passo 3
Observamos que e^-ikx = cos(kx) - isin(kx) é uma função par, ou seja, F(k) = 2 integral0^2 (1 - x2) cos(kx) dx . Isso nos permite simplificar a integral, já que o termo pode ser escrito usando funções trigonométricas:
Como a função é par e é ímpar, o termo com seno vai se anular na integral, ficando apenas a parte com cosseno:
A segunda integral requer o uso de integração por partes, onde escolhemos integral x cos(kx) dx = x cdot sin(kx)k - integral sin(kx)k dx = x cdot sin(kx)k + cos(kx)k^2 e F(k) = 2 [ ( sin(2k)k - sin(0)k ) - 12 ( ( 2 sin(2k)k + cos(2k)k^2 ) - ( 0 sin(0)k + cos(0)k^2 ) ) ] . Assim, F(k) = 2 [ sin(2k)k - 12 ( 2 sin(2k)k + cos(2k) - 1k^2 ) ] e . Aplicando a integração por partes: