Considere a função f(x)=1-|x / 2| para -2 <= x <= 2 e zero no resto. Mostre que a transformada de Fourier de f(x) é:
F(k)=raiz2pi(sin kk)^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Fourier da função definida no intervalo e zero fora desse intervalo. Vamos usar conceitos de transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para decompor funções em componentes de frequência. Para isso, vamos precisar integrar a função multiplicada por ao longo de todo o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da transformada de Fourier para F(k) = integral-infty^infty f(x) e^-ikx dx :
F(k) = integral-2^2 (1 - |x|2) e^-ikx dx
Como é zero fora de , podemos simplificar os limites da integral:

Passo 3

Observamos que e^-ikx = cos(kx) - isin(kx) é uma função par, ou seja, F(k) = 2 integral0^2 (1 - x2) cos(kx) dx . Isso nos permite simplificar a integral, já que o termo pode ser escrito usando funções trigonométricas:
Como a função é par e é ímpar, o termo com seno vai se anular na integral, ficando apenas a parte com cosseno:

Passo 4

Vamos agora resolver a integral:
F(k) = 2 integral0^2 (1 - x2) cos(kx) dx
Podemos distribuir o cosseno:
F(k) = 2 [ integral0^2 cos(kx) dx - 12 integral0^2 x cos(kx) dx ]
A primeira integral é simples:
integral cos(kx) dx = sin(kx)k
A segunda integral requer o uso de integração por partes, onde escolhemos integral x cos(kx) dx = x cdot sin(kx)k - integral sin(kx)k dx = x cdot sin(kx)k + cos(kx)k^2 e F(k) = 2 [ ( sin(2k)k - sin(0)k ) - 12 ( ( 2 sin(2k)k + cos(2k)k^2 ) - ( 0 sin(0)k + cos(0)k^2 ) ) ] . Assim, F(k) = 2 [ sin(2k)k - 12 ( 2 sin(2k)k + cos(2k) - 1k^2 ) ] e . Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos as integrais de 0 a 2:
Simplificando:

Passo 5

Continuando a simplificação:
F(k) = 2 [ sin(2k)k - ( sin(2k)k + cos(2k) - 12k^2 ) ]
F(k) = 2 [ - cos(2k) - 12k^2 ] = - cos(2k) - 1k^2
Usando a identidade trigonométrica:
1 - cos(2k) = 2 sin^2(k)
Substituindo:
F(k) = 2 sin^2(k)k^2

Resposta

Portanto, a transformada de Fourier da função F(k) = raiz2pi ( sin kk )^2 é:

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