Considere um cubo
feito de um material sólido condutor de calor. Uma das faces
está mantida a temperatura constante
, enquanto que as outras cinco faces são mantidas a temperatura zero. Suponha que desejamos obter a distribuição de temperatura independente do tempo. Use coordenadas cartesianas com um dos vértices na origem, formule as condições contorno apropriadas e resolva a equação
. Mostre que a solução achada é igual ou equivalente a:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a distribuição de temperatura em um cubo feito de um material que conduz calor. A gente precisa resolver a equação de Laplace, que é
, para achar como a temperatura
varia dentro do cubo. Vamos precisar entender as condições de contorno dadas e usar separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições de contorno. Temos um cubo com dimensões
. Uma das faces
está mantida a uma temperatura constante
, e as outras cinco faces estão a temperatura zero. Isso significa que na face
,
, e nas outras faces (quando
,
,
,
, e
),
.
Passo 3
Agora, vamos usar coordenadas cartesianas com um vértice na origem (
). A equação de Laplace em coordenadas cartesianas é:
Como a distribuição de temperatura é independente do tempo, estamos lidando com uma situação estacionária.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de funções independentes de
,
e
:
Passo 5
Substituindo
na equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Como cada termo depende apenas de uma variável, cada termo deve ser igual a uma constante negativa. Vamos chamar essas constantes de
e
:
Passo 6
Agora, resolvemos cada equação diferencial separadamente.
Para
:
A solução geral é:
Como na face
,
, isso implica que
, portanto
. Assim:
Similarmente para
:
Passo 7
Para
, a equação fica:
A solução geral é:
Onde
. Usando as condições de contorno nas faces
e
:
- Em
, :
- Em
, :
Resolvendo para
:
Então,
Passo 8
Agora, combinando todas as soluções, temos:
Onde
.
Passo 9
Para encontrar os coeficientes
, aplicamos a condição de contorno na face
, onde
:
Usando a série de Fourier, os coeficientes
são calculados para ajustar a série à condição de contorno.
Passo 10
Após calcular os coeficientes
, a solução geral fica:
Resposta
A distribuição de temperatura no cubo é dada por:
onde
Essa é a solução para a distribuição de temperatura no cubo conforme solicitado.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte equação diferencial:
onde
e
são constantes. Aplique a transformada de Fourier, resolva a equação e depois forneça uma expressão explicita para a solução
. Assuma que
.
Uma barra condutora de calor de comprimento
está termicamente isolada sobre sua superfície lateral e seus extremos são mantidos a temperatura zero
. Se a temperatura inicial é
, mostre que:
Use a equação (4) acima.
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,
e
, determine a altura do foguete
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