Considere um cubo feito de um material sólido condutor de calor. Uma das faces está mantida a temperatura constante , enquanto que as outras cinco faces são mantidas a temperatura zero. Suponha que desejamos obter a distribuição de temperatura independente do tempo. Use coordenadas cartesianas com um dos vértices na origem, formule as condições contorno apropriadas e resolva a equação . Mostre que a solução achada é igual ou equivalente a:
onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a distribuição de temperatura em um cubo feito de um material que conduz calor. A gente precisa resolver a equação de Laplace, que é , para achar como a temperatura varia dentro do cubo. Vamos precisar entender as condições de contorno dadas e usar separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições de contorno. Temos um cubo com dimensões . Uma das faces está mantida a uma temperatura constante , e as outras cinco faces estão a temperatura zero. Isso significa que na face , , e nas outras faces (quando , , , , e ), .

Passo 3

Agora, vamos usar coordenadas cartesianas com um vértice na origem ( ). A equação de Laplace em coordenadas cartesianas é:
Como a distribuição de temperatura é independente do tempo, estamos lidando com uma situação estacionária.

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de funções independentes de , e :

Passo 5

Substituindo na equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Como cada termo depende apenas de uma variável, cada termo deve ser igual a uma constante negativa. Vamos chamar essas constantes de e :

Passo 6

Agora, resolvemos cada equação diferencial separadamente.
Para :
A solução geral é:
Como na face , , isso implica que , portanto . Assim:
Similarmente para :

Passo 7

Para , a equação fica:
A solução geral é:
Onde . Usando as condições de contorno nas faces e :
  • Em , :
  • Em , :
Resolvendo para :
Então,

Passo 8

Agora, combinando todas as soluções, temos:
Onde .

Passo 9

Para encontrar os coeficientes , aplicamos a condição de contorno na face , onde :
Usando a série de Fourier, os coeficientes são calculados para ajustar a série à condição de contorno.

Passo 10

Após calcular os coeficientes , a solução geral fica:

Resposta

A distribuição de temperatura no cubo é dada por:
onde
Essa é a solução para a distribuição de temperatura no cubo conforme solicitado.

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