Considere um cubo a times b times c feito de um material sólido condutor de calor. Uma das faces (a times b) está mantida a temperatura constante u=u0, enquanto que as outras cinco faces são mantidas a temperatura zero. Suponha que desejamos obter a distribuição de temperatura independente do tempo. Use coordenadas cartesianas com um dos vértices na origem, formule as condições contorno apropriadas e resolva a equação nabla^2 u=0. Mostre que a solução achada é igual ou equivalente a:
u(x, y, z)=16 u0pi^2 summ, n=1,3,5^infty 1m n sinh alpham n(c-z)sinh alpham n c sin m pi xa sin m pi yb
onde alpham n=pi raiz(m^2 / a^2+n^2 / b^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a distribuição de temperatura em um cubo feito de um material que conduz calor. A gente precisa resolver a equação de Laplace, que é , para achar como a temperatura varia dentro do cubo. Vamos precisar entender as condições de contorno dadas e usar separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições de contorno. Temos um cubo com dimensões . Uma das faces está mantida a uma temperatura constante , e as outras cinco faces estão a temperatura zero. Isso significa que na face , , e nas outras faces (quando , , , , e ), .

Passo 3

Agora, vamos usar coordenadas cartesianas com um vértice na origem ( partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 = 0 ). A equação de Laplace em coordenadas cartesianas é:
Como a distribuição de temperatura é independente do tempo, estamos lidando com uma situação estacionária.

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de funções independentes de u(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z) , e :

Passo 5

Substituindo X''(x) Y(y) Z(z) + X(x) Y''(y) Z(z) + X(x) Y(y) Z''(z) = 0 na equação de Laplace, temos:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) + Z''(z)Z(z) = 0
Dividindo ambos os lados por X''(x)X(x) = -alpha^2, Y''(y)Y(y) = -beta^2, Z''(z)Z(z) = alpha^2 + beta^2 :
Como cada termo depende apenas de uma variável, cada termo deve ser igual a uma constante negativa. Vamos chamar essas constantes de e :

Passo 6

Agora, resolvemos cada equação diferencial separadamente.
Para X''(x) + alpha^2 X(x) = 0 :
X(x) = A sin(alpha x) + B cos(alpha x)
A solução geral é:
X(x) = A sin(alpha x)
Como na face Y(y) = C sin(beta y) , , isso implica que , portanto . Assim:
Similarmente para :

Passo 7

Para Z''(z) - (alpha^2 + beta^2) Z(z) = 0 , a equação fica:
Z(z) = D sinh(gamma z) + E cosh(gamma z)
A solução geral é:
Z(0) = D sinh(0) + E cosh(0) = E = u0
Onde Z(c) = D sinh(gamma c) + E cosh(gamma c) = 0 . Usando as condições de contorno nas faces D = -E cosh(gamma c)sinh(gamma c) = -u0 coth(gamma c) e Z(z) = u0 sinh(gamma (c - z))sinh(gamma c) :
  • Em , :
  • Em , :
Resolvendo para :
Então,

Passo 8

Agora, combinando todas as soluções, temos:
u(x, y, z) = summ=1^infty sumn=1^infty Amn sin(m pi xa) sin(n pi yb) sinh(alphamn (c - z))sinh(alphamn c)
Onde .

Passo 9

Para encontrar os coeficientes u0 = summ=1^infty sumn=1^infty Amn sin(m pi xa) sin(n pi yb) , aplicamos a condição de contorno na face , onde :
Usando a série de Fourier, os coeficientes são calculados para ajustar a série à condição de contorno.

Passo 10

Após calcular os coeficientes u(x, y, z) = 16 u0pi^2 summ, n=1,3,5,ldots^infty 1m n sinh(alphamn (c - z))sinh(alphamn c) sin(m pi xa) sin(n pi yb) , a solução geral fica:

Resposta

A distribuição de temperatura no cubo é dada por:
u(x, y, z) = 16 u0pi^2 sumsubstackm, n=1,3,5,ldots^infty 1m n sinh(alphamn (c - z))sinh(alphamn c) sin(m pi xa) sin(n pi yb)
onde
alphamn = pi raiz(m^2a^2 + n^2b^2)
Essa é a solução para a distribuição de temperatura no cubo conforme solicitado.

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