Considere a seguinte equação diferencial:
varphi^prime prime(x)-a^2 varphi(x)=-b de
onde a e b são constantes. Aplique a transformada de Fourier, resolva a equação e depois forneça uma expressão explicita para a solução varphi(x). Assuma que varphi( pm infty)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Fourier. A equação que temos é:
varphi''(x) - a^2 varphi(x) = -b de
Aqui, a e b são constantes, e de é a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Fourier em equações diferenciais e depois inverter para encontrar varphi(x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no espaço das posições ( x) para o espaço das frequências ( k). A transformada de Fourier de uma função f(x) é dada por:
Ff(x) = integral-infty^infty f(x) e^-ikx dx
Aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da nossa equação diferencial, temos:
Fvarphi''(x) - a^2 Fvarphi(x) = -b Fde

Passo 3

Agora, precisamos transformar cada termo:
  1. A transformada da segunda derivada de varphi(x) é:
Fvarphi''(x) = -(ik)^2 Fvarphi(x) = -k^2 Phi(k)
onde Phi(k) = Fvarphi(x).
  1. A transformada da função delta é:
Fde
Substituindo esses resultados na equação transformada:
- k^2 Phi(k) - a^2 Phi(k) = -b cdot 1

Passo 4

Vamos simplificar a equação para resolver Phi(k):
(-k^2 - a^2) Phi(k) = -b
Multiplicando ambos os lados por -1:
(k^2 + a^2) Phi(k) = b
Então, isolando Phi(k):
Phi(k) = bk^2 + a^2

Passo 5

Agora, precisamos achar a inversa da transformada de Fourier para encontrar varphi(x). Sabemos que:
F^-11k^2 + a^2 = pia e^-a|x|
Portanto, multiplicando pela constante b:
varphi(x) = b cdot pia e^-a|x| = b pia e^-a|x|

Resposta

A solução da equação diferencial é:
varphi(x) = b pia e^-a|x|

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