Considere a seguinte equação diferencial:
onde
e
são constantes. Aplique a transformada de Fourier, resolva a equação e depois forneça uma expressão explicita para a solução
. Assuma que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Fourier. A equação que temos é:
Aqui,
e
são constantes, e
é a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Fourier em equações diferenciais e depois inverter para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no espaço das posições (
) para o espaço das frequências (
). A transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da nossa equação diferencial, temos:
Passo 3
Agora, precisamos transformar cada termo:
- A transformada da segunda derivada de
é:
onde
.
- A transformada da função delta é:
Substituindo esses resultados na equação transformada:
Passo 4
Vamos simplificar a equação para resolver
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos achar a inversa da transformada de Fourier para encontrar
. Sabemos que:
Portanto, multiplicando pela constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: