Uma barra delgada de comprimento L e carga uniforme por unidade de comprimento lambda está posicionada ao longo eixo x. a) Demonstre que o campo elétrico em P, a uma distância d da barra ao longo de seu bissetor perpendicular, não tem componente x e é dado por E=[2(1 / 4 pi epsilon0) lambda sen Phi] / d e b) aplicando o resultado da parte a) demonstre que o campo da barra de comprimento infinito é E=[2(1 / 4 pi epsilon0)] lambda / d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra delgada com carga uniforme, distribuída ao longo do eixo , e pede para calcular o campo elétrico em um ponto que está a uma distância da barra, na direção perpendicular ao meio dela. Vamos precisar saber um pouco sobre o campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua e como somar as contribuições de cada parte da barra. Vamos resolver passo a passo as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal da barra, de comprimento , que possui uma carga , onde é a carga por unidade de comprimento. Esse elemento vai contribuir com um campo elétrico no ponto .

Passo 3

O campo elétrico devido a esse elemento de carga dE = 14piepsilon0 dqr^2 é dado por Coulomb:
Aqui, é a distância entre o elemento de carga e o ponto . No nosso caso, .

Passo 4

Agora, precisamos decompor o campo elétrico em suas componentes. Como a barra está ao longo do eixo e o ponto está na direção perpendicular, o campo terá componentes em e . Entretanto, devido à simetria, as componentes em vão se cancelar quando somarmos todos os elementos ao longo da barra.

Passo 5

Focando na componente dEy = dE cdot sinphi , que é a perpendicular:
onde é o ângulo entre a linha que liga o elemento de carga ao ponto e a perpendicular.

Passo 6

Substituindo dEy = 14piepsilon0 lambda dxx^2 + d^2 cdot draizx^2 + d^2 = 14piepsilon0 lambda d , dx(x^2 + d^2)^3/2 na expressão da componente :

Passo 7

Integrando Ey = lambda d4piepsilon0 integral-L/2^L/2 dx(x^2 + d^2)^3/2 ao longo de toda a barra de a :

Passo 8

Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
integral dx(x^2 + d^2)^3/2 = xd^2 raizx^2 + d^2

Passo 9

Simplificando:
Ey = lambda4piepsilon0 d [ Lraiz(L/2)^2 + d^2 ] = lambda L4piepsilon0 d raiz(L/2)^2 + d^2

Passo 10

Vamos relacionar isso com o ângulo sinphi = draiz(L/2)^2 + d^2 . Observando o triângulo formado, temos:
Ey = lambda L4piepsilon0 d cdot draiz(L/2)^2 + d^2 = lambda L4piepsilon0 d cdot sinphi
Substituindo na expressão do campo:

Passo 11

Então, o campo elétrico total no ponto E = 2 ( 14piepsilon0 ) lambda sinphid é:
Isso mostra que o campo não tem componente no eixo , apenas na direção .

Passo 12

Agora, para a parte b), vamos considerar o caso de uma barra de comprimento infinito. Quando tende ao infinito, tende a ( ), pois o ângulo entre a perpendicular e a linha que liga os pontos fica reto.

Passo 13

Substituindo E = 2 ( 14piepsilon0 ) lambdad na expressão do campo:

Resposta

O campo elétrico de uma barra de comprimento infinito é:
E = 2 ( 14piepsilon0 ) lambdad

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