Uma barra delgada de comprimento
e carga uniforme por unidade de comprimento
está posicionada ao longo eixo
. a) Demonstre que o campo elétrico em
, a uma distância d da barra ao longo de seu bissetor perpendicular, não tem componente
e é dado por
e b) aplicando o resultado da parte a) demonstre que o campo da barra de comprimento infinito é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra delgada com carga uniforme, distribuída ao longo do eixo
, e pede para calcular o campo elétrico em um ponto
que está a uma distância
da barra, na direção perpendicular ao meio dela. Vamos precisar saber um pouco sobre o campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua e como somar as contribuições de cada parte da barra. Vamos resolver passo a passo as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal da barra, de comprimento
, que possui uma carga
, onde
é a carga por unidade de comprimento. Esse elemento vai contribuir com um campo elétrico
no ponto
.
Passo 3
O campo elétrico devido a esse elemento de carga
é dado por Coulomb:
Aqui,
é a distância entre o elemento de carga e o ponto
. No nosso caso,
.
Passo 4
Agora, precisamos decompor o campo elétrico
em suas componentes. Como a barra está ao longo do eixo
e o ponto
está na direção perpendicular, o campo terá componentes em
e
. Entretanto, devido à simetria, as componentes em
vão se cancelar quando somarmos todos os elementos ao longo da barra.
Passo 5
Focando na componente
, que é a perpendicular:
onde
é o ângulo entre a linha que liga o elemento de carga ao ponto
e a perpendicular.
Passo 6
Substituindo
na expressão da componente
:
Passo 7
Integrando
ao longo de toda a barra de
a
:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Passo 9
Simplificando:
Passo 10
Vamos relacionar isso com o ângulo
. Observando o triângulo formado, temos:
Substituindo na expressão do campo:
Passo 11
Então, o campo elétrico total no ponto
é:
Isso mostra que o campo não tem componente no eixo
, apenas na direção
.
Passo 12
Agora, para a parte b), vamos considerar o caso de uma barra de comprimento infinito. Quando
tende ao infinito,
tende a
(
), pois o ângulo entre a perpendicular e a linha que liga os pontos fica reto.
Passo 13
Substituindo
na expressão do campo:
Resposta
O campo elétrico de uma barra de comprimento infinito é:
Exercícios relacionados
Um anel uniformemente carregado de raio
possui carga total de
. Determine o campo elétrico no eixo do anel nas distâncias: a)
, b)
do centro do anel.
Em uma região do espaço há um campo elétrico uniforme, que possui intensidade
. Obtenha a direção, o sentido e a intensidade da força eletrostática sobre as duas carga, colocadas em repouso no campo e que possuem valor:
e
.
Demonstre que o módulo
do campo elétrico ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado ocorre quando
e tem valor
.
Para cada equação determine
.
.