Para cada equação determine d yd x.
y^2=x-1x+1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a derivada de y em relação a x, representada como d yd x, a partir da equação y^2=x-1x+1. A matéria envolvida aqui é derivadas, e o que vamos usar para resolver é a regra da derivação implícita, já que y está em função de x.

Passo 2

Começa com a equação dada: y^2=x-1x+1. Para usar a derivação implícita, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se de que quando derivamos y, precisamos também multiplicar pela derivada de y em relação a x, que é d yd x.
Derivando o lado esquerdo:
ddx(y^2) = 2y d yd x
Agora, vamos dérivar o lado direito. Para isso, precisamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de uv é dada por:
ddx(uv) = u'v - uv'v^2
onde u = x - 1 e v = x + 1.
Calculando as derivadas:
  • u' = 1
  • v' = 1
Agora substituindo na fórmula da regra do quociente:
ddx(x-1x+1) = (1)(x+1) - (x-1)(1)(x+1)^2 = x+1 - (x-1)(x+1)^2 = x + 1 - x + 1(x+1)^2 = 2(x+1)^2

Passo 3

Agora podemos juntar tudo isso e igualar as derivadas que encontramos:
2y d yd x = 2(x+1)^2
Depois, isolamos d yd x:
d yd x = 22y cdot 1(x+1)^2
Simplificando, ficamos com:
d yd x = 1y (x+1)^2

Resposta

Portanto, a derivada de y em relação a x é d yd x = 1y (x+1)^2.

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