Demonstre que o módulo
do campo elétrico ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado ocorre quando
e tem valor
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o ponto ao longo do eixo de um anel carregado onde o campo elétrico é máximo. Estamos trabalhando com eletrostática, especificamente com o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga uniforme. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de um anel carregado e analisar onde esse campo atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expressão para o campo elétrico ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado. Se o anel tem carga total
, raio
, e queremos encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância
do centro do anel ao longo do eixo, a fórmula é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Para encontrar onde o campo elétrico é máximo, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Vamos calcular a derivada de
:
Simplificando a derivada:
Passo 4
Igualamos a derivada a zero para encontrar os valores de
que tornam o campo elétrico máximo:
O numerador deve ser zero:
Passo 5
Agora que encontramos que
é onde o campo elétrico é máximo, substituímos esse valor na expressão original de
para encontrar
:
Resposta
O módulo máximo do campo elétrico ao longo do eixo do anel ocorre em
e tem valor
.
Exercícios relacionados
Uma barra delgada de comprimento
e carga uniforme por unidade de comprimento
está posicionada ao longo eixo
. a) Demonstre que o campo elétrico em
, a uma distância d da barra ao longo de seu bissetor perpendicular, não tem componente
e é dado por
e b) aplicando o resultado da parte a) demonstre que o campo da barra de comprimento infinito é
.
Um anel uniformemente carregado de raio
possui carga total de
. Determine o campo elétrico no eixo do anel nas distâncias: a)
, b)
do centro do anel.
Para cada equação determine
.
.
Se uma certa mola uniforme fosse cortada em duas partes iguais, qual seria a constante da mola de cada metade? Justifique sua resposta. Usando-se a mesma massa na extremidade, qual seria a diferença entre a frequência do MHS da metade da mola e a freqüência da mola inteira?