Demonstre que o módulo E máx á do campo elétrico ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado ocorre quando x=a / raiz2 e tem valor Q / 6 raiz3 pi epsilon0 a^2.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o ponto ao longo do eixo de um anel carregado onde o campo elétrico é máximo. Estamos trabalhando com eletrostática, especificamente com o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga uniforme. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de um anel carregado e analisar onde esse campo atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expressão para o campo elétrico ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado. Se o anel tem carga total E(x) = 14piepsilon0 cdot Qx(x^2 + a^2)^3/2 , raio , e queremos encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância do centro do anel ao longo do eixo, a fórmula é:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Para encontrar onde o campo elétrico é máximo, precisamos derivar dEdx = 14piepsilon0 cdot Q cdot (x^2 + a^2)^3/2 - x cdot 32(x^2 + a^2)^1/2 cdot 2x(x^2 + a^2)^3 em relação a dEdx = Q4piepsilon0 cdot (x^2 + a^2) - 3x^2(x^2 + a^2)^5/2 e igualar a derivada a zero. Vamos calcular a derivada de dEdx = Q4piepsilon0 cdot a^2 - 2x^2(x^2 + a^2)^5/2 :
Simplificando a derivada:

Passo 4

Igualamos a derivada a zero para encontrar os valores de a^2 - 2x^2(x^2 + a^2)^5/2 = 0 que tornam o campo elétrico máximo:
a^2 - 2x^2 = 0
O numerador deve ser zero:
2x^2 = a^2
x^2 = a^22
x = araiz2

Passo 5

Agora que encontramos que Emáx = 14piepsilon0 cdot Q cdot araiz2((araiz2)^2 + a^2)^3/2 é onde o campo elétrico é máximo, substituímos esse valor na expressão original de Emáx = 14piepsilon0 cdot Qa/raiz2(a^22 + a^2)^3/2 para encontrar Emáx = 14piepsilon0 cdot Qa/raiz2(3a^22)^3/2 á:
Emáx = 14piepsilon0 cdot Qa/raiz2(32)^3/2 a^3 á
Emáx = Q4piepsilon0 cdot 1/raiz2(32)^3/2 a^2 á
Emáx = Q4piepsilon0 cdot 1raiz2 cdot 3raiz32raiz2 a^2 á
Emáx = Q6raiz3piepsilon0 a^2 á
á
á
á

Resposta

O módulo máximo do campo elétrico ao longo do eixo do anel ocorre em e tem valor á.

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