Uma barra delgada, não-homogênea, está orientada ao longo do eixo ox, com uma extremidade na origem, e seu comprimento vale 30,0 cm. A densidade linear de massa, não-uniforme, é dada por lambda=1,0-2,0 x^2 em unidades do S.I. Determine a coordenada x do centro de massa desta barra.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Centro de Massa envolvendo uma barra delgada não homogênea. A barra está orientada ao longo do eixo , com comprimento de . A densidade linear de massa é dada por (em unidades do SI). Para encontrar a coordenada do centro de massa, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais para centros de massa de corpos contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa x = integrala^b x lambda(x) , dxintegrala^b lambda(x) , dx de uma barra é dado pela fórmula:
Aqui, e (convertendo centímetros para metros).

Passo 3

Vamos calcular o numerador da fórmula, que é a integral de integral0^0,30 x (1,0 - 2,0x^2) , dx = integral0^0,30 (x - 2x^3) , dx :
integral x , dx = 12x^2
Integrando termo a termo:
integral 2x^3 , dx = 24x^4 = 12x^4
integral0^0,30 (x - 2x^3) , dx = [ 12x^2 - 12x^4 ]0^0,30
Portanto:
= ( 12(0,30)^2 - 12(0,30)^4 ) - ( 0 - 0 )
= 12(0,09) - 12(0,0081)
= 0,045 - 0,00405 = 0,04095 , kg·m

Passo 4

Agora, vamos calcular o denominador da fórmula, que é a integral de integral0^0,30 (1,0 - 2,0x^2) , dx :
integral 1,0 , dx = x
Integrando termo a termo:
integral 2,0x^2 , dx = 23x^3
integral0^0,30 (1,0 - 2,0x^2) , dx = [ x - 23x^3 ]0^0,30
Portanto:
= ( 0,30 - 23(0,027) ) - ( 0 - 0 )
= 0,30 - 23 times 0,027
= 0,30 - 0,018 = 0,282 , kg

Passo 5

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula do centro de massa:
x = 0,040950,282 approx 0,145 , m
Convertendo para centímetros:
0,145 , m = 14,5 , cm

Resposta

A coordenada do centro de massa da barra é aproximadamente .

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