O vetor posição de uma partícula com 250 g de massa é dado por r(t)=5 t^2 i-2 t j e o vetor posição de outra partícula, com 100 g de massa é dado por r(t)=3 t^2 j-t i. Ambos os vetores são dados em unidades do S.I. e valem para t >= 0. Determine em t=2,0 s : (a) a posição do centro de massa, (b) o momento linear total, © o momento angular total, (d) a energia cinética total e a energia potencial gravitacional total considerando U=0 em y=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve o cálculo da posição do centro de massa, momento linear, momento angular, energia cinética e energia potencial gravitacional de duas partículas movendo-se no espaço. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica clássica, como vetores posição, massa, momento linear, momento angular e energia. Precisaremos aplicar fórmulas matemáticas básicas e entender como combinar as grandezas de cada partícula para obter os valores totais no instante s.

Passo 2

(a) Posição do Centro de Massa
Primeiro, vamos encontrar a posição do centro de massa das duas partículas no tempo R(t) = m1 r1(t) + m2 r2(t)m1 + m2 s. A posição do centro de massa r1(2) = 5 (2)^2 i - 2 (2) j = 20 i - 4 j , m é dada pela média ponderada das posições das partículas, ponderada por suas massas.
A fórmula para a posição do centro de massa é:
r2(2) = 3 (2)^2 j - 2 i = 12 j - 2 i , m
Vamos calcular R(2) = 0,25 (20 i - 4 j) + 0,1 (-2 i + 12 j)0,25 + 0,1 e 0,25 times 20 i = 5 i 0,25 times (-4) j = -1 j 0,1 times (-2) i = -0,2 i 0,1 times 12 j = 1,2 j :
Para a partícula 1:
(5 - 0,2) i + (-1 + 1,2) j = 4,8 i + 0,2 j
Para a partícula 2:
0,25 + 0,1 = 0,35 , kg
Agora, substituindo na fórmula do centro de massa:
R(2) = 4,8 i + 0,2 j0,35 approx 13,714 i + 0,571 j , m
Calculando o numerador:
Somando:
Somando as massas:
Finalmente:

Passo 3

(b) Momento Linear Total
O momento linear total v1(t) = dr1dt = ddt (5 t^2 i - 2 t j) = 10 t i - 2 j do sistema é a soma dos momentos lineares de cada partícula. O momento linear de uma partícula é dado pelo produto da sua massa pela sua velocidade.
Primeiro, precisamos determinar as velocidades das partículas no instante v1(2) = 10 times 2 i - 2 j = 20 i - 2 j , m/s s, derivando os vetores posição em relação ao tempo.
Para a partícula 1:
v2(t) = dr2dt = ddt (- t i + 3 t^2 j) = - i + 6 t j
No v2(2) = - i + 6 times 2 j = -1 i + 12 j , m/s s:
p1 = m1 v1 = 0,25 times (20 i - 2 j) = 5 i - 0,5 j , kg·m/s
Para a partícula 2:
p2 = m2 v2 = 0,1 times (-1 i + 12 j) = -0,1 i + 1,2 j , kg·m/s
No P = p1 + p2 = (5 - 0,1) i + (-0,5 + 1,2) j = 4,9 i + 0,7 j , kg·m/s s:
Agora, calculamos os momentos lineares:
Para a partícula 1:
Para a partícula 2:
Somando os dois momentos lineares:

Passo 4

© Momento Angular Total
O momento angular total L = r times p do sistema é a soma dos momentos angulares de cada partícula em relação à origem. O momento angular de uma partícula é dado pelo produto vetorial do vetor posição pela quantidade de movimento.
A fórmula é:
r1 = 20 i - 4 j , m p1 = 5 i - 0,5 j , kg·m/s
Vamos calcular o momento angular de cada partícula no tempo L1 = r1 times p1 = i & j & k 20 & -4 & 0 5 & -0,5 & 0 = (0 - 0) i - (0 - 0) j + (20 times (-0,5) - (-4) times 5) k = (-10 + 20) k = 10 k , kg·m²/s s.
Para a partícula 1:
r2 = -2 i + 12 j , m p2 = -0,1 i + 1,2 j , kg·m/s
Calculando o produto vetorial:
L2 = r2 times p2 = i & j & k -2 & 12 & 0 -0,1 & 1,2 & 0 = (0 - 0) i - (0 - 0) j + (-2 times 1,2 - 12 times (-0,1)) k = (-2,4 + 1,2) k = -1,2 k , kg·m²/s ²
Para a partícula 2:
L = L1 + L2 = 10 k - 1,2 k = 8,8 k , kg·m²/s
Calculando o produto vetorial:
²
Somando os momentos angulares:
²

Passo 5

(d) Energia Cinética Total e Energia Potencial Gravitacional Total
Vamos calcular a energia cinética total K = 12 m v^2 do sistema e a energia potencial gravitacional v1(2) = 20 i - 2 j , m/s v1 = raiz20^2 + (-2)^2 = raiz400 + 4 = raiz404 approx 20,1 , m/s total das duas partículas no instante v2(2) = -1 i + 12 j , m/s v2 = raiz(-1)^2 + 12^2 = raiz1 + 144 = raiz145 approx 12,04 , m/s s, considerando que K1 = 12 times 0,25 times (20,1)^2 approx 0,125 times 404,01 approx 50,5 , J em K2 = 12 times 0,1 times (12,04)^2 approx 0,05 times 145 approx 7,25 , J .
Energia Cinética Total
A energia cinética de uma partícula é dada por:
Ktotal = K1 + K2 approx 50,5 + 7,25 = 57,75 , J
Primeiro, calculamos as velocidades das partículas no tempo U = m g h s, que já encontramos anteriormente.
Para a partícula 1:
r1(2) = 20 i - 4 j h1 = -4 , m U1 = 0,25 times 9,81 times (-4) = -9,81 , J
Para a partícula 2:
r2(2) = -2 i + 12 j h2 = 12 , m U2 = 0,1 times 9,81 times 12 = 11,778 , J
Agora, calculando as energias cinéticas:
Para a partícula 1:
Utotal = U1 + U2 = -9,81 + 11,778 = 1,968 , J
Para a partícula 2:
Somando as energias cinéticas:
Energia Potencial Gravitacional Total
A energia potencial gravitacional de uma partícula é dada por:
Onde é a aceleração da gravidade ( ) e é a altura em relação a .
Para cada partícula, a altura é a componente do vetor posição.
Para a partícula 1:
Nota: Como a altura é negativa, a energia potencial será negativa.
Para a partícula 2:
Somando as energias potenciais:

Resposta

(a); R(2) &approx 13,714 i + 0,571 j , m (b); P &= 4,9 i + 0,7 j , kg·m/s (c); L &= 8,8 k , kg·m²/s (d); Ktotal &approx 57,75 , J (d); Utotal &approx 1,968 , J ²

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