Vamos resolver o exercício que envolve o cálculo da posição do centro de massa, momento linear, momento angular, energia cinética e energia potencial gravitacional de duas partículas movendo-se no espaço. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica clássica, como vetores posição, massa, momento linear, momento angular e energia. Precisaremos aplicar fórmulas matemáticas básicas e entender como combinar as grandezas de cada partícula para obter os valores totais no instante s.
Passo 2
(a) Posição do Centro de Massa
Primeiro, vamos encontrar a posição do centro de massa das duas partículas no tempo s. A posição do centro de massa é dada pela média ponderada das posições das partículas, ponderada por suas massas.
A fórmula para a posição do centro de massa é:
Vamos calcular e :
Para a partícula 1:
Para a partícula 2:
Agora, substituindo na fórmula do centro de massa:
Calculando o numerador:
Somando:
Somando as massas:
Finalmente:
Passo 3
(b) Momento Linear Total
O momento linear total do sistema é a soma dos momentos lineares de cada partícula. O momento linear de uma partícula é dado pelo produto da sua massa pela sua velocidade.
Primeiro, precisamos determinar as velocidades das partículas no instante s, derivando os vetores posição em relação ao tempo.
O momento angular total do sistema é a soma dos momentos angulares de cada partícula em relação à origem. O momento angular de uma partícula é dado pelo produto vetorial do vetor posição pela quantidade de movimento.
A fórmula é:
Vamos calcular o momento angular de cada partícula no tempo s.
Para a partícula 1:
Calculando o produto vetorial:
Para a partícula 2:
L = L1 + L2 = 10 k - 1,2 k = 8,8 k , kg·m²/s
Calculando o produto vetorial:
²
Somando os momentos angulares:
²
Passo 5
(d) Energia Cinética Total e Energia Potencial Gravitacional Total
Vamos calcular a energia cinética total K = 12 m v^2 do sistema e a energia potencial gravitacional v1(2) = 20 i - 2 j , m/s v1 = raiz20^2 + (-2)^2 = raiz400 + 4 = raiz404 approx 20,1 , m/s total das duas partículas no instante v2(2) = -1 i + 12 j , m/s v2 = raiz(-1)^2 + 12^2 = raiz1 + 144 = raiz145 approx 12,04 , m/s s, considerando que K1 = 12 times 0,25 times (20,1)^2 approx 0,125 times 404,01 approx 50,5 , J em K2 = 12 times 0,1 times (12,04)^2 approx 0,05 times 145 approx 7,25 , J .
Energia Cinética Total
A energia cinética de uma partícula é dada por:
Ktotal = K1 + K2 approx 50,5 + 7,25 = 57,75 , J
Primeiro, calculamos as velocidades das partículas no tempo U = m g h s, que já encontramos anteriormente.
Para a partícula 1:
r1(2) = 20 i - 4 j h1 = -4 , m U1 = 0,25 times 9,81 times (-4) = -9,81 , J
Para a partícula 2:
r2(2) = -2 i + 12 j h2 = 12 , m U2 = 0,1 times 9,81 times 12 = 11,778 , J
Agora, calculando as energias cinéticas:
Para a partícula 1:
Utotal = U1 + U2 = -9,81 + 11,778 = 1,968 , J
Para a partícula 2:
Somando as energias cinéticas:
Energia Potencial Gravitacional Total
A energia potencial gravitacional de uma partícula é dada por:
Onde é a aceleração da gravidade () e é a altura em relação a .
Para cada partícula, a altura é a componente do vetor posição.
Para a partícula 1:
Nota: Como a altura é negativa, a energia potencial será negativa.
Para a partícula 2:
Somando as energias potenciais:
Resposta
(a); R(2) &approx 13,714 i + 0,571 j , m (b); P &= 4,9 i + 0,7 j , kg·m/s (c); L &= 8,8 k , kg·m²/s (d); Ktotal &approx 57,75 , J (d); Utotal &approx 1,968 , J ²