Uma barra dielétrica de espessura b é inserida entre as placas de um capacitor de placas paralelas, cuja distância de separação é d. Calcule a capacitância equivalente do sistema. Verifique que tipo de resultado é obtido para as condições b=0, K=1 e b=d.
Resposta: C eq =K epsilon0 SK d-b(K-1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas separadas por uma distância d, e foi inserida uma barra dielétrica de espessura b entre essas placas. Nosso objetivo é calcular a capacitância equivalente desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar utilizar as fórmulas de capacitância para capacitores com e sem dielétrico e entender como combiná-las.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que a barra dielétrica divide o capacitor em duas partes: uma parte com o dielétrico e outra sem. Isso significa que podemos tratar essas duas partes como dois capacitores separados que estão conectados em série.

Passo 3

A capacitância de um capacitor com dielétrico ( C1) é dada por:
C1 = K epsilon0 Sb
onde:
  • K é a constante dielétrica,
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • S é a área das placas,
  • b é a espessura da barra dielétrica.
Já a capacitância da parte sem dielétrico ( C2) é:
C2 = epsilon0 Sd - b
Aqui, d - b é a distância restante entre as placas onde não há dielétrico.

Passo 4

Como os dois capacitores ( C1 e C2) estão em série, a capacitância equivalente ( Ceq) é dada por:
1Ceq = 1C1 + 1C2

Passo 5

Substituindo as expressões de C1 e C2 na fórmula acima:
1Ceq = bK epsilon0 S + d - bepsilon0 S

Passo 6

Podemos fatorar 1epsilon0 S:
1Ceq = 1epsilon0 S ( bK + d - b )

Passo 7

Simplificando os termos dentro dos parênteses:
bK + d - b = d - b (1 - 1K) = d - b (K - 1K)

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
1Ceq = d K - b (K - 1)K epsilon0 S

Passo 9

Invertendo para encontrar Ceq:
Ceq = K epsilon0 SK d - b (K - 1)

Passo 10

Agora, vamos verificar as condições especiais:
a) Quando b = 0:
Ceq = K epsilon0 SK d - 0 (K - 1) = K epsilon0 SK d = epsilon0 Sd
Que é a capacitância de um capacitor sem dielétrico, o que faz sentido porque não há barra inserida.
b) Quando K = 1:
Ceq = 1 cdot epsilon0 S1 cdot d - b (1 - 1) = epsilon0 Sd
Aqui, com K=1, o dielétrico não altera a capacitância, retornando ao valor sem dielétrico.
c) Quando b = d:
Ceq = K epsilon0 SK d - d (K - 1) = K epsilon0 SK d - K d + d = K epsilon0 Sd
Neste caso, toda a distância entre as placas está preenchida com o dielétrico, aumentando a capacitância pelo fator K.

Resposta

Ceq = K epsilon0 SK d - b (K - 1)

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