onde
e
são constantes. Se
for dada em metros e
em segundos, mostre que
deve ser dado em
e que
deve ser dado em
. (a) Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula. (b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula. Nas perguntas seguintes considere
e
. © Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de
é máximo? (d) Qual a distância total percorrida pela partícula nos 3 s iniciais? (e) Qual a velocidade da partícula para
? (f) Qual a aceleração da partícula para
? (g) Qual a velocidade média para o intervalo de tempo entre
?
Resposta: (a)
. (b)
. ©
. (d) -17 m. (e)
. (f)
. (g)
.
Resposta: (a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação que descreve a posição
de uma partícula em função do tempo
:
Aqui,
e
são constantes. A questão está relacionada à cinemática, especificamente ao estudo do movimento de partículas. Para resolver os itens a seguir, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, além de analisar o comportamento da função para encontrar máximos e calcular distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar as unidades das constantes
e
. Sabemos que
está em metros (
) e
em segundos (
).
A equação é:
Para que os lados da equação tenham as mesmas unidades, devemos analisar cada termo.
Para o primeiro termo:
Então,
Para o segundo termo:
Então,
Passo 3
Agora, vamos para o item (a): obter uma expressão para a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Dada:
A velocidade
é:
Passo 4
No item (b), queremos a expressão para a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Tendo:
A aceleração
é:
Passo 5
Agora, com
e
, vamos resolver os itens seguintes.
Item ©: Encontrar o instante em que a partícula alcança o ponto de
máximo.
Para encontrar o máximo da função
, igualamos a velocidade a zero:
Substituindo os valores de
e
:
As soluções são
ou
. Ignorando
, temos
.
Passo 6
Item (d): Calcular a distância total percorrida pela partícula nos primeiros 3 segundos.
A distância total é a integral do valor absoluto da velocidade de 0 a 3 segundos. Primeiro, precisamos verificar se a velocidade muda de sinal nesse intervalo.
Sabemos que a velocidade
com
e
fica:
Encontramos que
em
e
.
Então, a distância é:
Calculando:
Para :
Para
Para
:
A velocidade é negativa, então:
A velocidade é negativa, então:
Totalizando:
A distância total percorrida é aproximadamente 37,125 metros.
Passo 7
Item (e): Determinar a velocidade da partícula para
.
Usando a expressão da velocidade:
Substituindo
:
Passo 8
Item (f): Encontrar a aceleração da partícula para
.
Usando a expressão da aceleração:
Substituindo
,
e
:
Passo 9
Item (g): Calcular a velocidade média para o intervalo de tempo entre
e
.
A velocidade média
é dada por:
Primeiro, calculamos
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Exercícios relacionados
Determine qual deve ser a fração de
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para
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Resposta: (a) para
e
para
(b)
Resposta: (a)
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e
.
Resposta:
Resposta: