x=b1 t^3-b2 t^4
onde b1 e b2 são constantes. Se x for dada em metros e t em segundos, mostre que b1 deve ser dado em m / s^3 e que b2 deve ser dado em m / s^4. (a) Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula. (b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula. Nas perguntas seguintes considere b1=2 m / s^3 e b2=1 m / s^4. © Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de x é máximo? (d) Qual a distância total percorrida pela partícula nos 3 s iniciais? (e) Qual a velocidade da partícula para t=1 s? (f) Qual a aceleração da partícula para t=2 s? (g) Qual a velocidade média para o intervalo de tempo entre t=2 e t=4 s?
Resposta: (a) v=3 b1 t^2-4 b2 t^3. (b) a=6 b1 t-12 b2 t^2. © t=1,5 s. (d) -17 m. (e) nu=2 m / s. (f) a=-24 m / s^2. (g) nu méd =-64 m / sé.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação que descreve a posição x = b1 t^3 - b2 t^4 de uma partícula em função do tempo :
Aqui, e são constantes. A questão está relacionada à cinemática, especificamente ao estudo do movimento de partículas. Para resolver os itens a seguir, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, além de analisar o comportamento da função para encontrar máximos e calcular distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar as unidades das constantes x = b1 t^3 - b2 t^4 e b1 t^3 tem unidade de m . Sabemos que [b1] cdot [t]^3 = m implies [b1] = ms^3 está em metros ( b2 t^4 tem unidade de m ) e [b2] cdot [t]^4 = m implies [b2] = ms^4 em segundos ( ).
A equação é:
Para que os lados da equação tenham as mesmas unidades, devemos analisar cada termo.
Para o primeiro termo:
Então,
Para o segundo termo:
Então,

Passo 3

Agora, vamos para o item (a): obter uma expressão para a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Dada:
x = b1 t^3 - b2 t^4
A velocidade v = dxdt = 3 b1 t^2 - 4 b2 t^3 é:

Passo 4

No item (b), queremos a expressão para a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Tendo:
v = 3 b1 t^2 - 4 b2 t^3
A aceleração a = dvdt = 6 b1 t - 12 b2 t^2 é:

Passo 5

Agora, com v = 3 b1 t^2 - 4 b2 t^3 = 0 e 3 cdot 2 cdot t^2 - 4 cdot 1 cdot t^3 = 0 6 t^2 - 4 t^3 = 0 t^2(6 - 4 t) = 0 , vamos resolver os itens seguintes.
Item ©: Encontrar o instante em que a partícula alcança o ponto de máximo.
Para encontrar o máximo da função , igualamos a velocidade a zero:
Substituindo os valores de e :
As soluções são ou . Ignorando , temos .

Passo 6

Item (d): Calcular a distância total percorrida pela partícula nos primeiros 3 segundos.
A distância total é a integral do valor absoluto da velocidade de 0 a 3 segundos. Primeiro, precisamos verificar se a velocidade muda de sinal nesse intervalo.
Sabemos que a velocidade v = 6 t^2 - 4 t^3 = 2 t^2(3 - 2 t) com Distância = integral0^1,5 v , dt + integral1,5^3 |v| , dt e integral0^1,5 (6 t^2 - 4 t^3) , dt = [ 2 t^3 - t^4 ]0^1,5 = 2 (1,5)^3 - (1,5)^4 = 6,75 - 5,0625 = 1,6875 , m fica:
integral1,5^3 |6 t^2 - 4 t^3| , dt = integral1,5^3 (4 t^3 - 6 t^2) , dt = [ t^4 - 2 t^3 ]1,5^3 = (81 - 54) - (5,0625 - 13,5) = 27 + 8,4375 = 35,4375 , m
Encontramos que 1,6875 + 35,4375 = 37,125 , m em e .
Então, a distância é:
â
Calculando:
Para :
Para :
A velocidade é negativa, então:
Totalizando:
A distância total percorrida é aproximadamente 37,125 metros.

Passo 7

Item (e): Determinar a velocidade da partícula para v = 6 t^2 - 4 t^3 .
Usando a expressão da velocidade:
v = 6 (1)^2 - 4 (1)^3 = 6 - 4 = 2 , m/s
Substituindo :

Passo 8

Item (f): Encontrar a aceleração da partícula para a = 6 b1 t - 12 b2 t^2 .
Usando a expressão da aceleração:
a = 6 cdot 2 cdot 2 - 12 cdot 1 cdot (2)^2 = 24 - 48 = -24 , m/s^2
Substituindo , e :

Passo 9

Item (g): Calcular a velocidade média para o intervalo de tempo entre numéd = x(4) - x(2)4 - 2 e x(4) = 2 cdot 4^3 - 1 cdot 4^4 = 2 cdot 64 - 256 = 128 - 256 = -128 , m .
A velocidade média x(2) = 2 cdot 2^3 - 1 cdot 2^4 = 2 cdot 8 - 16 = 16 - 16 = 0 , m é é dada por:
numéd = -128 - 02 = -64 , m/s é
Primeiro, calculamos e :
Para :
Para :
Então:
é

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) é

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