Uma esfera de material homogêneo com constante dielétrica
, de raio
, está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga
. (a) Calcule o vetor campo elétrico dentro e fora da esfera (b) e a diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera.
Resposta: (a)
para
e
para
(b)
Resposta: (a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera homogênea com constante dielétrica
e raio
, carregada de maneira uniforme com uma densidade volumétrica de carga
. Precisamos calcular:
a) O vetor campo elétrico tanto dentro quanto fora da esfera.
b) A diferença de potencial entre o centro da esfera e sua superfície.
a) O vetor campo elétrico
b) A diferença de potencial
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico para achar a diferença de potencial.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): calcular o vetor campo elétrico
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico devido a uma distribuição de carga simétrica.
A Lei de Gauss diz que:
Aqui,
é a carga total encerrada pela superfície gaussiana,
é a permissividade do vácuo e
é a constante dielétrica do material.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
dentro da esfera, ou seja, para
.
A carga total dentro de uma esfera de raio
é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Portanto, o vetor campo elétrico dentro da esfera é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
fora da esfera, ou seja, para
.
A carga total da esfera é:
Aplicando a Lei de Gauss para
:
Simplificando:
Mas queremos expressar em termos do vetor posição
:
Passo 5
Agora, passamos para a parte (b): encontrar a diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera.
Sabemos que a diferença de potencial é a integral do campo elétrico ao longo do caminho. Vamos integrar o campo elétrico de
até
.
Dentro da esfera, o campo elétrico é:
A diferença de potencial é:
Integrando:
Resposta
(a) O vetor campo elétrico é
para
e
para
.
(b) A diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera é .
(b) A diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera é