Uma esfera de material homogêneo com constante dielétrica kappa, de raio a, está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga rho. (a) Calcule o vetor campo elétrico dentro e fora da esfera (b) e a diferença de potencial V entre o centro e a superfície da esfera.
Resposta: (a) E=rho r3 kappa epsilon0 para (0 e E=rho a^3 r3 epsilon0 r^3 para (r>a) (b) V(0)-V(a)=rho a^26 kappa epsilon0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera homogênea com constante dielétrica e raio , carregada de maneira uniforme com uma densidade volumétrica de carga . Precisamos calcular:
a) O vetor campo elétrico tanto dentro quanto fora da esfera.
b) A diferença de potencial entre o centro da esfera e sua superfície.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico para achar a diferença de potencial.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular o vetor campo elétrico oint E cdot dA = Qencepsilon0 kappa . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico devido a uma distribuição de carga simétrica.
A Lei de Gauss diz que:
Aqui, é a carga total encerrada pela superfície gaussiana, é a permissividade do vácuo e é a constante dielétrica do material.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular Qenc = rho cdot 43pi r^3 dentro da esfera, ou seja, para E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3epsilon0 kappa .
A carga total dentro de uma esfera de raio E = rho r3 epsilon0 kappa é:
E = rho r3 kappa epsilon0
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Portanto, o vetor campo elétrico dentro da esfera é:

Passo 4

Agora, vamos calcular Q = rho cdot 43pi a^3 fora da esfera, ou seja, para E cdot 4pi r^2 = Qepsilon0 = rho cdot 43pi a^3epsilon0 .
A carga total da esfera é:
E = rho a^33 epsilon0 r^2
Aplicando a Lei de Gauss para E = rho a^3 r3 epsilon0 r^3 :
Simplificando:
Mas queremos expressar em termos do vetor posição :

Passo 5

Agora, passamos para a parte (b): encontrar a diferença de potencial E(r) = rho r3 kappa epsilon0 entre o centro e a superfície da esfera.
Sabemos que a diferença de potencial é a integral do campo elétrico ao longo do caminho. Vamos integrar o campo elétrico de V(0) - V(a) = integral0^a E(r) , dr = integral0^a rho r3 kappa epsilon0 , dr até V(0) - V(a) = rho3 kappa epsilon0 cdot a^22 = rho a^26 kappa epsilon0 .
Dentro da esfera, o campo elétrico é:
A diferença de potencial é:
Integrando:

Resposta

(a) O vetor campo elétrico é para e para .
(b) A diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera é .

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