Uma barra estrutural com seção transversal de
está submetida à uma carga de tração axial de 2000 kN . Determine:
(a) As tensões normal e tangencial máximas na barra e os valores de
em que elas ocorrem.
(b) As tensões normal e tangencial no plano AB para
.
(a) As tensões normal e tangencial máximas na barra e os valores de
(b) As tensões normal e tangencial no plano AB para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra estrutural com seção transversal de
que está sendo puxada por uma força axial de 2000 kN. O que a gente precisa descobrir aqui são:
(a) As tensões normal e cortante máximas na barra e os ângulos
onde elas acontecem.
(b) As tensões normal e cortante no plano AB para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensões normais e cortantes, além de como elas se transformam em diferentes planos inclinados
. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a tensão normal (
) na barra devido à carga axial. A tensão normal é dada pela fórmula:
onde:
-
é a força axial (2000 kN), -
é a área da seção transversal.
Vamos calcular a área
:
Convertendo para metros quadrados (
):
Agora, calculando a tensão normal:
Então, a tensão normal na barra é aproximadamente 44,44 MPa.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a tensão cortante (
). Em uma carga axial pura, a tensão cortante direta na direção da carga é zero. Mas, se considerarmos diferentes planos inclinados na seção transversal, podemos ter tensões cortantes devido à orientação.
Para encontrar as tensões normal (
) e cortante (
) em um plano inclinado a um ângulo
, usamos as seguintes fórmulas de transformação de tensões:
Onde:
-
é a tensão normal na direção x (neste caso, 44,44 MPa), -
é a tensão normal na direção y (como não há carga na direção y, ), -
é a tensão cortante no plano xy (neste caso, 0 porque a carga é axial).
Substituindo esses valores:
Passo 4
Para encontrar as tensões máximas, vamos usar um pouco de cálculo. Sabemos que:
Podemos reescrever
usando a identidade trigonométrica:
Então:
Para
, usamos:
As tensões máximas acontecem quando as derivadas dessas expressões em relação a
são zero. Mas podemos observar que:
-
A tensão normal máxima ocorre quando
, ou seja, quando ou , então ou . Assim, -
A tensão cortante máxima ocorre quando
, ou seja, quando , então . Assim,
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): Encontrar as tensões normal e cortante no plano AB para
.
Usando as fórmulas que derivamos:
Substituindo
:
Calculando
e
:
Resposta
(a) As tensões normal e cortante máximas na barra são 44,44 MPa e 22,22 MPa, ocorrendo respectivamente para
e
.
(b) No plano AB com
, a tensão normal é 33,33 MPa e a tensão cortante é aproximadamente 19,25 MPa.
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