Uma barra estrutural com seção transversal de está submetida à uma carga de tração axial de 2000 kN . Determine:
(a) As tensões normal e tangencial máximas na barra e os valores de em que elas ocorrem.
(b) As tensões normal e tangencial no plano AB para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra estrutural com seção transversal de que está sendo puxada por uma força axial de 2000 kN. O que a gente precisa descobrir aqui são:
(a) As tensões normal e cortante máximas na barra e os ângulos onde elas acontecem.
(b) As tensões normal e cortante no plano AB para .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensões normais e cortantes, além de como elas se transformam em diferentes planos inclinados . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão normal ( ) na barra devido à carga axial. A tensão normal é dada pela fórmula:
onde:
  • é a força axial (2000 kN),
  • é a área da seção transversal.
Vamos calcular a área :
Convertendo para metros quadrados ( ):
Agora, calculando a tensão normal:
Então, a tensão normal na barra é aproximadamente 44,44 MPa.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a tensão cortante ( ). Em uma carga axial pura, a tensão cortante direta na direção da carga é zero. Mas, se considerarmos diferentes planos inclinados na seção transversal, podemos ter tensões cortantes devido à orientação.
Para encontrar as tensões normal ( ) e cortante ( ) em um plano inclinado a um ângulo , usamos as seguintes fórmulas de transformação de tensões:
Onde:
  • é a tensão normal na direção x (neste caso, 44,44 MPa),
  • é a tensão normal na direção y (como não há carga na direção y, ),
  • é a tensão cortante no plano xy (neste caso, 0 porque a carga é axial).
Substituindo esses valores:

Passo 4

Para encontrar as tensões máximas, vamos usar um pouco de cálculo. Sabemos que:
Podemos reescrever usando a identidade trigonométrica:
Então:
Para , usamos:
As tensões máximas acontecem quando as derivadas dessas expressões em relação a são zero. Mas podemos observar que:
  • A tensão normal máxima ocorre quando , ou seja, quando ou , então ou .
    Assim,
  • A tensão cortante máxima ocorre quando , ou seja, quando , então .
    Assim,

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Encontrar as tensões normal e cortante no plano AB para .
Usando as fórmulas que derivamos:
Substituindo :
Calculando e :

Resposta

(a) As tensões normal e cortante máximas na barra são 44,44 MPa e 22,22 MPa, ocorrendo respectivamente para e .
(b) No plano AB com , a tensão normal é 33,33 MPa e a tensão cortante é aproximadamente 19,25 MPa.

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