Uma barra estrutural com seção transversal de 150 times 300 mm está submetida à uma carga de tração axial de 2000 kN . Determine:
(a) As tensões normal e tangencial máximas na barra e os valores de theta em que elas ocorrem.
(b) As tensões normal e tangencial no plano AB para theta=30^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra estrutural com seção transversal de que está sendo puxada por uma força axial de 2000 kN. O que a gente precisa descobrir aqui são:
(a) As tensões normal e cortante máximas na barra e os ângulos onde elas acontecem.
(b) As tensões normal e cortante no plano AB para .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensões normais e cortantes, além de como elas se transformam em diferentes planos inclinados . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão normal ( sigma = FA ) na barra devido à carga axial. A tensão normal é dada pela fórmula:
A = largura times a
onde:
  • A = 45,000 , mm^2 times (1 , m1000 , mm)^2 = 0,045 , m^2 é a força axial (2000 kN),
  • sigma = 2000 , kN0,045 , m^2 = 2000 times 10^3 , N0,045 , m^2 approx 44,444 , MPa é a área da seção transversal.
Vamos calcular a área :
Convertendo para metros quadrados ( ):
Agora, calculando a tensão normal:
Então, a tensão normal na barra é aproximadamente 44,44 MPa.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a tensão cortante ( sigma' = sigmax cos^2 theta + sigmay sin^2 theta + 2 tauxy sin theta cos theta ). Em uma carga axial pura, a tensão cortante direta na direção da carga é zero. Mas, se considerarmos diferentes planos inclinados na seção transversal, podemos ter tensões cortantes devido à orientação.
Para encontrar as tensões normal ( tau' = (sigmax - sigmay) sin theta cos theta + tauxy (cos^2 theta - sin^2 theta) ) e cortante ( sigma' = 44,44 cos^2 theta ) em um plano inclinado a um ângulo tau' = 44,44 sin theta cos theta , usamos as seguintes fórmulas de transformação de tensões:
Onde:
  • é a tensão normal na direção x (neste caso, 44,44 MPa),
  • é a tensão normal na direção y (como não há carga na direção y, ),
  • é a tensão cortante no plano xy (neste caso, 0 porque a carga é axial).
Substituindo esses valores:

Passo 4

Para encontrar as tensões máximas, vamos usar um pouco de cálculo. Sabemos que:
sigma' = 44,44 cos^2 theta
tau' = 44,44 sin theta cos theta
Podemos reescrever cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 usando a identidade trigonométrica:
sigma' = 44,44 times 1 + cos 2theta2 = 22,22 (1 + cos 2theta)
Então:
tau' = 44,44 sin theta cos theta = 22,22 sin 2theta
Para , usamos:
As tensões máximas acontecem quando as derivadas dessas expressões em relação a são zero. Mas podemos observar que:
  • A tensão normal máxima ocorre quando , ou seja, quando ou , então ou .
    Assim,
  • A tensão cortante máxima ocorre quando , ou seja, quando , então .
    Assim,

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Encontrar as tensões normal e cortante no plano AB para sigma' = 22,22 (1 + cos 2theta) .
Usando as fórmulas que derivamos:
tau' = 22,22 sin 2theta
2theta = 60^circ
Substituindo sigma' = 22,22 (1 + 0,5) = 22,22 times 1,5 = 33,33 , MPa :
tau' = 22,22 times 0,8660 approx 19,25 , MPa
Calculando e :

Resposta

(a) As tensões normal e cortante máximas na barra são 44,44 MPa e 22,22 MPa, ocorrendo respectivamente para e .
(b) No plano AB com , a tensão normal é 33,33 MPa e a tensão cortante é aproximadamente 19,25 MPa.

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