Uma barra de ferro homogênea de 1,80 m é equilibrada em pé sobre uma superfície plana. Como este equilíbrio é instável, a barra começa a cair. (a) Com que velocidade o centro de massa atingirá o solo? (b) Encontre a equação de movimento (segunda lei de Newton) para o ângulo da barra com a vertical, ou seja, como a aceleração angular da barra depende do ângulo com a vertical. (*c) Em uma situação teórica e ideal (sem atrito, abstrata, etc…), seria possível que a barra demorasse um ano para cair? (*d) Se a barra demorar
para cair, qual era seu ângulo inicial com a vertical? (Resolva com cálculo numérico, por exemplo, usando algum aplicativo.)
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo
Estamos analisando uma barra de ferro homogênea de 1,80 metros que está em equilíbrio instável sobre uma superfície plana e começa a cair. Precisamos resolver quatro partes do exercício:
Estamos analisando uma barra de ferro homogênea de 1,80 metros que está em equilíbrio instável sobre uma superfície plana e começa a cair. Precisamos resolver quatro partes do exercício:
a) Determinar a velocidade com que o centro de massa da barra atinge o solo.
b) Encontrar a equação de movimento para o ângulo da barra com a vertical usando a segunda lei de Newton.
c) Verificar se, em uma situação ideal sem atrito, a barra poderia demorar um ano para cair.
d) Calcular o ângulo inicial com a vertical se a barra demora 4,0 segundos para cair.
b) Encontrar a equação de movimento para o ângulo da barra com a vertical usando a segunda lei de Newton.
c) Verificar se, em uma situação ideal sem atrito, a barra poderia demorar um ano para cair.
d) Calcular o ângulo inicial com a vertical se a barra demora 4,0 segundos para cair.
Para resolver essas questões, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, energia potencial e cinética, e a segunda lei de Newton para rotação. Precisaremos aplicar fórmulas de momento de inércia, conservação de energia e equações diferenciais para movimento angular.
Passo 2
Parte a: Velocidade do Centro de Massa ao Atingir o Solo
Vamos determinar a velocidade do centro de massa da barra quando ela atinge o solo. Para isso, vamos usar o princípio da conservação de energia.
Conservação de Energia
A energia potencial inicial da barra será convertida em energia cinética quando ela atingir o solo.
A energia potencial inicial da barra será convertida em energia cinética quando ela atingir o solo.
A energia potencial inicial (
) é dada por:
onde:
-
é a massa da barra, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura do centro de massa.
O centro de massa de uma barra homogênea está no seu meio, então:
A energia cinética rotacional (
) ao atingir o solo é:
onde:
-
é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de rotação, -
é a velocidade angular.
Momento de Inércia
Para uma barra homogênea girando em torno de uma extremidade:
Para uma barra homogênea girando em torno de uma extremidade:
Igualando
:
Velocidade do Centro de Massa
A velocidade linear ( ) do centro de massa está relacionada à velocidade angular por:
A velocidade linear (
onde
.
Substituindo
:
Cálculo Numérico
Substituindo e
:
Substituindo
Passo 3
Resposta da Parte a
A velocidade com que o centro de massa da barra atinge o solo é aproximadamente 3,64 metros por segundo.
A velocidade com que o centro de massa da barra atinge o solo é aproximadamente 3,64 metros por segundo.
Passo 4
Parte b: Equação de Movimento para o Ângulo com a Vertical
Vamos encontrar a equação de movimento para o ângulo
da barra com a vertical usando a segunda lei de Newton para rotação.
Segunda Lei de Newton para Rotação
A segunda lei de Newton para rotação é:
A segunda lei de Newton para rotação é:
onde:
-
é o torque, -
é o momento de inércia, -
é a aceleração angular.
Torque devido à Gravidade
Quando a barra está em um ângulo com a vertical, a componente da força gravitacional que causa o torque é:
Quando a barra está em um ângulo
(O torque é máximo quando
)
Aceleração Angular
A aceleração angular é a segunda derivada do ângulo:
A aceleração angular
Momento de Inércia
Conforme calculado anteriormente:
Conforme calculado anteriormente:
Montando a Equação
Aplicando a segunda lei de Newton:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Simplificando:
Equação de Movimento
Assim, a equação de movimento para o ângulo com a vertical é:
Assim, a equação de movimento para o ângulo
Passo 5
Resposta da Parte b
A equação de movimento para o ângulo da barra com a vertical é:
A equação de movimento para o ângulo
Passo 6
Parte c: Possibilidade da Barra Demorar um Ano para Cair em Situação Ideal
Vamos analisar se, em uma situação teórica sem atrito e outras forças dissipativas, a barra poderia demorar um ano para cair.
Análise de Movimento
A equação diferencial obtida na parte b:
A equação diferencial obtida na parte b:
é similar à equação de um pêndulo simples, cuja solução para pequenos ângulos é harmônica:
Período do Movimento
O período de oscilação (para pequenos ângulos) é:
O período
Substituindo
e
:
Conclusão
O período de oscilação é de aproximadamente 2,2 segundos. Mesmo em uma situação ideal sem atrito, a barra cairia em menos de um segundo, muito menor que um ano. Portanto, não seria possível que a barra demorasse um ano para cair, mesmo em condições ideais.
O período de oscilação é de aproximadamente 2,2 segundos. Mesmo em uma situação ideal sem atrito, a barra cairia em menos de um segundo, muito menor que um ano. Portanto, não seria possível que a barra demorasse um ano para cair, mesmo em condições ideais.
Passo 7
Resposta da Parte c
Em uma situação teórica e ideal, não seria possível que a barra demorasse um ano para cair. A queda ocorreria em aproximadamente 2,2 segundos.
Em uma situação teórica e ideal, não seria possível que a barra demorasse um ano para cair. A queda ocorreria em aproximadamente 2,2 segundos.
Passo 8
Parte d: Ângulo Inicial se a Barra Demorar 4,0 segundos para Cair
Queremos encontrar o ângulo inicial
sabendo que a barra leva 4,0 segundos para cair. Para isso, vamos considerar que a barra realiza um movimento oscilatório e usar a solução aproximada para pequenos ângulos.
Período do Movimento
Da parte b, o período é:
Da parte b, o período
Note que 4,0 segundos correspondem a aproximadamente 1,82 períodos completos (
).
Condição de Queda
Considerando que a barra parte de e cai até
(quando atinge o solo) em 4,0 segundos, podemos usar a solução harmônica:
Considerando que a barra parte de
Queremos que
.
Calculando
Substituindo:
Calculando
Note que radianos é aproximadamente
períodos. O cosseno é periódica, então:
Note que
Encontrando
Observação
Esse ângulo excede , o que não é fisicamente possível para o equilíbrio inicial da barra. Isso indica que a suposição de pequenos ângulos não é válida para esse caso, e métodos mais avançados (como solução numérica da equação diferencial) são necessários para obter um resultado preciso.
Esse ângulo excede
Passo 9
Resposta da Parte d
Se a barra demora 4,0 segundos para cair, o ângulo inicial com a vertical seria aproximadamente 102,1 graus. Entretanto, esse valor excede o ângulo físico máximo de , indicando que a aproximação usada não é válida e uma análise mais detalhada com métodos numéricos seria necessária para obter um resultado preciso.
Se a barra demora 4,0 segundos para cair, o ângulo inicial com a vertical seria aproximadamente 102,1 graus. Entretanto, esse valor excede o ângulo físico máximo de
Resposta
Conforme detalhado nos passos acima, as respostas para cada parte do exercício são:
a) A velocidade com que o centro de massa da barra atinge o solo é aproximadamente 3,64 metros por segundo.
b) A equação de movimento para o ângulo da barra com a vertical é:
b) A equação de movimento para o ângulo
c) Em uma situação teórica e ideal, não seria possível que a barra demorasse um ano para cair; a queda ocorreria em cerca de 2,2 segundos.
d) Se a barra demora 4,0 segundos para cair, o ângulo inicial com a vertical seria aproximadamente 102,1 graus, embora esse valor indique que a aproximação utilizada pode não ser adequada. Para um resultado preciso, seria necessário utilizar métodos numéricos.
d) Se a barra demora 4,0 segundos para cair, o ângulo inicial com a vertical seria aproximadamente 102,1 graus, embora esse valor indique que a aproximação utilizada pode não ser adequada. Para um resultado preciso, seria necessário utilizar métodos numéricos.
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.
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Calcule
, onde
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e
, com o plano
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.
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