Calcule integralgamma d x+x y d y+z d z, onde gamma é a interseção de x^2+y^2+z^2=2, x >= 0, y >= 0 e z >= 0, com o plano y=x; o sentido do percurso é do ponto (0,0, raiz2) para (1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha . A curva é a interseção da esfera com o plano , e estamos nos movendo do ponto para no primeiro octante (onde , e são maiores ou iguais a zero). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria espacial e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva x^2 + x^2 + z^2 = 2 Rightarrow 2x^2 + z^2 = 2 . Ela é a interseção da esfera x^2 + z^22 = 1 com o plano x = cos theta, y = cos theta, z = raiz2 sin theta . Como estamos no primeiro octante, podemos simplificar a equação substituindo por :
Podemos reescrever isso como:
Isso representa uma curva elíptica. Para parametrizar essa curva, vamos usar um parâmetro :
onde varia de a para ir de a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dx = -sin theta , dtheta, dy = -sin theta , dtheta, dz = raiz2 cos theta , dtheta , e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na integral original:
integralgamma dx + x y , dy + z , dz = integraltheta=0^pi2 ( -sin theta , dtheta + (cos theta)(cos theta)(- sin theta , dtheta) + (raiz2 sin theta)(raiz2 cos theta , dtheta) )
Simplificando cada termo:
= integral0^pi2 ( -sin theta - cos^2 theta sin theta + 2 sin theta cos theta ) dtheta

Passo 5

Vamos juntar os termos:
-sin theta - cos^2 theta sin theta + 2 sin theta cos theta = sin theta (-1 - cos^2 theta + 2 cos theta)
Agora, a integral fica:
integral0^pi2 sin theta (-1 - cos^2 theta + 2 cos theta) dtheta

Passo 6

Para integrar, fazemos a substituição integral1^0 (-1 - u^2 + 2u) du = integral0^1 (1 + u^2 - 2u) du , então . Os limites de integração mudam:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral se torna:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 1 , du + integral0^1 u^2 , du - 2 integral0^1 u , du = [ u ]0^1 + [ u^33 ]0^1 - 2 [ u^22 ]0^1
Calculando cada parte:
1 - 0 + 13 - 0 - 2 ( 12 - 0 ) = 1 + 13 - 1 = 13

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados