Calcule , onde é a interseção de e , com o plano ; o sentido do percurso é do ponto para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha . A curva é a interseção da esfera com o plano , e estamos nos movendo do ponto para no primeiro octante (onde , e são maiores ou iguais a zero). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria espacial e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção da esfera com o plano . Como estamos no primeiro octante, podemos simplificar a equação substituindo por :
Podemos reescrever isso como:
Isso representa uma curva elíptica. Para parametrizar essa curva, vamos usar um parâmetro :
onde varia de a para ir de a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de , e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na integral original:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Vamos juntar os termos:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Para integrar, fazemos a substituição , então . Os limites de integração mudam:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral se torna:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada parte:

Resposta

O valor da integral é .

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consiste nos segmentos de reta de e de a .