Calcule
, onde
é a interseção de
e
, com o plano
; o sentido do percurso é do ponto
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha
. A curva
é a interseção da esfera
com o plano
, e estamos nos movendo do ponto
para
no primeiro octante (onde
,
e
são maiores ou iguais a zero). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria espacial e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a interseção da esfera
com o plano
. Como estamos no primeiro octante, podemos simplificar a equação substituindo
por
:
Podemos reescrever isso como:
Isso representa uma curva elíptica. Para parametrizar essa curva, vamos usar um parâmetro
:
onde
varia de
a
para ir de
a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na integral original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Vamos juntar os termos:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Para integrar, fazemos a substituição
, então
. Os limites de integração mudam:
- Quando
, - Quando
,
A integral se torna:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada parte:
Resposta
O valor da integral é
.