Se um malabarista joga uma barra para cima e deseja que ela dê duas voltas completas ao chegar novamente na mesma altura em sua mão, qual deve ser o produto entre as velocidades inicias angular e linear do centro de massa?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um malabarista que joga uma barra para cima e quer que essa barra dê duas voltas completas antes de voltar à mesma altura na mão dele. O que precisamos descobrir é o produto entre as velocidades iniciais angular ( ) e linear ( ) do centro de massa da barra.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de cinemática rotacional e movimento vertical, como o tempo de voo da barra e como a rotação está ligada ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que a barra leva para ir para cima e voltar. Quando a barra é lançada para cima com velocidade inicial , ela sobe até parar momentaneamente antes de começar a descer. Esse tempo total de voo ( ) pode ser calculado usando a fórmula do movimento uniformemente acelerado:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ²).

Passo 3

Agora, sabemos que a barra precisa dar duas voltas completas durante esse tempo . Cada volta completa corresponde a radianos, então duas voltas são radianos.
A relação entre a velocidade angular inicial e o tempo é dada por:
Onde é o deslocamento angular total. No nosso caso, .

Passo 4

Vamos montar a equação com as informações que temos:
Agora, queremos encontrar o produto . Vamos isolar esse produto na equação:

Resposta

O produto entre as velocidades iniciais angular e linear do centro de massa deve ser:

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