Se um malabarista joga uma barra para cima e deseja que ela dê duas voltas completas ao chegar novamente na mesma altura em sua mão, qual deve ser o produto entre as velocidades inicias angular e linear do centro de massa?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um malabarista que joga uma barra para cima e quer que essa barra dê duas voltas completas antes de voltar à mesma altura na mão dele. O que precisamos descobrir é o produto entre as velocidades iniciais angular (
) e linear (
) do centro de massa da barra.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de cinemática rotacional e movimento vertical, como o tempo de voo da barra e como a rotação está ligada ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo que a barra leva para ir para cima e voltar. Quando a barra é lançada para cima com velocidade inicial
, ela sobe até parar momentaneamente antes de começar a descer. Esse tempo total de voo (
) pode ser calculado usando a fórmula do movimento uniformemente acelerado:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ).
Passo 3
Agora, sabemos que a barra precisa dar duas voltas completas durante esse tempo
. Cada volta completa corresponde a
radianos, então duas voltas são
radianos.
A relação entre a velocidade angular inicial
e o tempo
é dada por:
Onde
é o deslocamento angular total. No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos montar a equação com as informações que temos:
Agora, queremos encontrar o produto
. Vamos isolar esse produto na equação:
Resposta
O produto entre as velocidades iniciais angular e linear do centro de massa deve ser:
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e
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.
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a
.
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para cair, qual era seu ângulo inicial com a vertical? (Resolva com cálculo numérico, por exemplo, usando algum aplicativo.)