Uma bola maciça de raio igual a
rola suavemente em um plano inclinado de
. (a) Qual é o módulo da aceleração da bola? (b) Se a sua velocidade inicial do centro de massa é de
no sentido de subida, qual será a altura máxima que a bola atingirá?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola maciça (ou seja, uma esfera sólida) com raio de
rolando suavemente por um plano inclinado de
. Na parte (a), queremos descobrir qual é a aceleração dessa bola enquanto ela rola. Na parte (b), se a bola começa subindo com uma velocidade inicial de
, qual vai ser a altura máxima que ela alcança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Quando uma bola rola sem deslizar por um plano inclinado, ela está sujeita a duas formas de movimento: a translação do centro de massa e a rotação em torno do próprio centro. A aceleração que queremos encontrar é a aceleração linear do centro de massa da bola.
Passo 3
Para relacionar a aceleração linear (
) e a aceleração angular (
), usamos a condição de rolamento sem deslizar:
, onde
é o raio da bola. Isso garante que a bola não está escorregando no plano inclinado.
Passo 4
A força que está fazendo a bola acelerar para baixo no plano inclinado é a componente do peso na direção do plano, que é
, onde
é a massa da bola,
é a aceleração da gravidade (
) e
é o ângulo do plano inclinado (
).
Passo 5
Além disso, há um torque devido à força de atrito que causa a rotação da bola. O momento de inércia para uma esfera sólida é
. Usando a segunda lei de Newton para rotação, temos
, onde
é o torque. O torque aqui é dado por
, onde
é a força de atrito.
Passo 6
Como não há deslize, a força de atrito está relacionada à aceleração linear. Podemos combinar essas equações para resolver para
. Após algumas manipulações, a aceleração linear fica
.
Passo 7
Agora, substituindo os valores:
e
.
Calculando
:
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). A bola tem uma velocidade inicial de
subindo. Queremos encontrar a altura máxima que ela alcança. Para isso, vamos usar a conservação de energia. A energia cinética inicial será convertida em energia potencial na altura máxima.
Passo 9
A energia cinética total inclui tanto a translacional quanto a rotacional:
Como
e
, substituindo:
Passo 10
A energia potencial na altura máxima (
) é
. Igualando as energias:
Simplificando
:
Passo 11
Substituindo os valores:
e
:
Resposta
(a) A aceleração da bola é aproximadamente
.
(b) A altura máxima que a bola atinge é cerca de
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a interseção de
e
, com o plano
; o sentido do percurso é do ponto
para
.
Uma barra de ferro homogênea de 1,80 m é equilibrada em pé sobre uma superfície plana. Como este equilíbrio é instável, a barra começa a cair. (a) Com que velocidade o centro de massa atingirá o solo? (b) Encontre a equação de movimento (segunda lei de Newton) para o ângulo da barra com a vertical, ou seja, como a aceleração angular da barra depende do ângulo com a vertical. (*c) Em uma situação teórica e ideal (sem atrito, abstrata, etc…), seria possível que a barra demorasse um ano para cair? (*d) Se a barra demorar
para cair, qual era seu ângulo inicial com a vertical? (Resolva com cálculo numérico, por exemplo, usando algum aplicativo.)
Um disco de massa 100 kg e raio
na horizontal gira livremente sem atrito completando uma volta a cada
. No centro do disco está uma pessoa de
. A pessoa, com alguma dificuldade, caminha até a borda do disco, onde para. Nesse momento, quanto tempo o disco demorará para completar uma volta?