Uma bola maciça de raio igual a rola suavemente em um plano inclinado de . (a) Qual é o módulo da aceleração da bola? (b) Se a sua velocidade inicial do centro de massa é de no sentido de subida, qual será a altura máxima que a bola atingirá?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola maciça (ou seja, uma esfera sólida) com raio de rolando suavemente por um plano inclinado de . Na parte (a), queremos descobrir qual é a aceleração dessa bola enquanto ela rola. Na parte (b), se a bola começa subindo com uma velocidade inicial de , qual vai ser a altura máxima que ela alcança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Quando uma bola rola sem deslizar por um plano inclinado, ela está sujeita a duas formas de movimento: a translação do centro de massa e a rotação em torno do próprio centro. A aceleração que queremos encontrar é a aceleração linear do centro de massa da bola.

Passo 3

Para relacionar a aceleração linear ( ) e a aceleração angular ( ), usamos a condição de rolamento sem deslizar: , onde é o raio da bola. Isso garante que a bola não está escorregando no plano inclinado.

Passo 4

A força que está fazendo a bola acelerar para baixo no plano inclinado é a componente do peso na direção do plano, que é , onde é a massa da bola, é a aceleração da gravidade ( ) e é o ângulo do plano inclinado ( ).

Passo 5

Além disso, há um torque devido à força de atrito que causa a rotação da bola. O momento de inércia para uma esfera sólida é . Usando a segunda lei de Newton para rotação, temos , onde é o torque. O torque aqui é dado por , onde é a força de atrito.

Passo 6

Como não há deslize, a força de atrito está relacionada à aceleração linear. Podemos combinar essas equações para resolver para . Após algumas manipulações, a aceleração linear fica .

Passo 7

Agora, substituindo os valores: e .
Calculando :

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). A bola tem uma velocidade inicial de subindo. Queremos encontrar a altura máxima que ela alcança. Para isso, vamos usar a conservação de energia. A energia cinética inicial será convertida em energia potencial na altura máxima.

Passo 9

A energia cinética total inclui tanto a translacional quanto a rotacional:
Como e , substituindo:

Passo 10

A energia potencial na altura máxima ( ) é . Igualando as energias:
Simplificando :

Passo 11

Substituindo os valores: e :

Resposta

(a) A aceleração da bola é aproximadamente .
(b) A altura máxima que a bola atinge é cerca de .

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