Uma bola maciça de raio igual a 3,0 cm rola suavemente em um plano inclinado de 15^circ. (a) Qual é o módulo da aceleração da bola? (b) Se a sua velocidade inicial do centro de massa é de 3 m / s no sentido de subida, qual será a altura máxima que a bola atingirá?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola maciça (ou seja, uma esfera sólida) com raio de 3,0 cm rolando suavemente por um plano inclinado de 15^circ. Na parte (a), queremos descobrir qual é a aceleração dessa bola enquanto ela rola. Na parte (b), se a bola começa subindo com uma velocidade inicial de 3 m/s, qual vai ser a altura máxima que ela alcança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Quando uma bola rola sem deslizar por um plano inclinado, ela está sujeita a duas formas de movimento: a translação do centro de massa e a rotação em torno do próprio centro. A aceleração que queremos encontrar é a aceleração linear do centro de massa da bola.

Passo 3

Para relacionar a aceleração linear ( a) e a aceleração angular ( alpha), usamos a condição de rolamento sem deslizar: a = r alpha, onde r é o raio da bola. Isso garante que a bola não está escorregando no plano inclinado.

Passo 4

A força que está fazendo a bola acelerar para baixo no plano inclinado é a componente do peso na direção do plano, que é m g sin(theta), onde m é a massa da bola, g é a aceleração da gravidade ( 9,8 m/s^2) e theta é o ângulo do plano inclinado ( 15^circ).

Passo 5

Além disso, há um torque devido à força de atrito que causa a rotação da bola. O momento de inércia para uma esfera sólida é I = 25 m r^2. Usando a segunda lei de Newton para rotação, temos tau = I alpha, onde tau é o torque. O torque aqui é dado por f r, onde f é a força de atrito.

Passo 6

Como não há deslize, a força de atrito está relacionada à aceleração linear. Podemos combinar essas equações para resolver para a. Após algumas manipulações, a aceleração linear fica a = 57 g sin(theta).

Passo 7

Agora, substituindo os valores: g = 9,8 m/s^2 e theta = 15^circ.
a = 57 times 9,8 times sin(15^circ)
Calculando sin(15^circ) approx 0,2588:
a approx 57 times 9,8 times 0,2588 approx 1,81 m/s^2

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). A bola tem uma velocidade inicial de 3 m/s subindo. Queremos encontrar a altura máxima que ela alcança. Para isso, vamos usar a conservação de energia. A energia cinética inicial será convertida em energia potencial na altura máxima.

Passo 9

A energia cinética total inclui tanto a translacional quanto a rotacional:
Ecin = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Como I = 25 m r^2 e omega = vr, substituindo:
Ecin = 12 m v^2 + 12 times 25 m r^2 times (vr)^2 = 710 m v^2

Passo 10

A energia potencial na altura máxima ( h) é Epot = m g h. Igualando as energias:
710 m v^2 = m g h
Simplificando m:
h = 710 v^2g

Passo 11

Substituindo os valores: v = 3 m/s e g = 9,8 m/s^2:
h = 710 times 3^29,8 = 710 times 99,8 approx 0,64 m

Resposta

(a) A aceleração da bola é aproximadamente 1,81 m/s^2.
(b) A altura máxima que a bola atinge é cerca de 0,64 metros.

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