Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y)=(y+z) i+(x+z) j+(x+y) k sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta (1,0,0) a (3,4,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo de força e precisa descobrir o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move numa linha reta do ponto até . Vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por integração ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho da partícula. Como é uma linha reta de r(t) = r0 + t (r1 - r0) = (1 + 2t, 0 + 4t, 0 + 2t) até x(t) = 1 + 2t, y(t) = 4t, z(t) = 2t , podemos definir um parâmetro que varia de 0 a 1:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diferencial drdt = (2, 4, 2) implies dr = (2,dt, 4,dt, 2,dt) , que é a derivada de em relação a multiplicada por :

Passo 4

Precisamos agora expressar o campo de força F(t) = (y + z) i + (x + z) j + (x + y) k = (4t + 2t) i + (1 + 2t + 2t) j + (1 + 2t + 4t) k em termos de F(t) = 6t, i + (1 + 4t), j + (1 + 6t), k . Substituindo , e na expressão de :

Passo 5

O trabalho W = integralC F cdot dr realizado pelo campo de força ao longo do caminho é dado pela integral de linha:
W = integral0^1 [6t, i + (1 + 4t), j + (1 + 6t), k] cdot [2, i + 4, j + 2, k], dt
Substituindo e :

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:
F(t) cdot dr = 6t cdot 2 + (1 + 4t) cdot 4 + (1 + 6t) cdot 2
= 12t + 4 + 16t + 2 + 12t
= (12t + 16t + 12t) + (4 + 2) = 40t + 6

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de W = integral0^1 (40t + 6), dt = [ 20t^2 + 6t ]0^1 = (20 cdot 1^2 + 6 cdot 1) - (0 + 0) = 20 + 6 = 26 a :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é 26 unidades de trabalho.

Exercícios relacionados