Uma barra fina de comprimento L está posicionada ao longo do eixo y, e possui uma carga distribuída ao longo do seu comprimento com distribuição linear lambda. Determine o vetor campo elétrico em um ponto P localizado: no eixo x, no limite L longrightarrow infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra fina com comprimento posicionada ao longo do eixo que tem uma carga distribuída de forma linear, ou seja, com uma densidade de carga (carga por unidade de comprimento). A gente precisa encontrar o vetor campo elétrico em um ponto que está no eixo , considerando que o comprimento da barra vai para infinito ( ). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga e a simetria do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um elemento infinitesimal de carga. Se temos um elemento de carga dE = 14piepsilon0 dqr^2 r , o campo elétrico gerado por ele no ponto é dado por:
onde é a permissividade do vácuo, é a distância entre o elemento de carga e o ponto , e é o vetor unitário na direção de em relação ao elemento de carga.

Passo 3

Como a barra está ao longo do eixo r = raizx^2 + y^2 e o ponto está no eixo , vamos definir as coordenadas de um elemento de carga. Vamos considerar um ponto qualquer na barra com coordenada . A distância entre esse ponto e será:
E o ângulo entre o vetor e o eixo é .

Passo 4

Vamos expressar o elemento de carga dq = lambda , dy em termos de dE = 14piepsilon0 lambda , dyx^2 + y^2 e :
Então, o campo elétrico gerado por esse elemento é:
Devido à simetria, os componentes do campo elétrico na direção vão se cancelar quando integremos sobre toda a barra, deixando apenas a componente na direção .

Passo 5

A componente dEx = dE costheta = 14piepsilon0 lambda , dyx^2 + y^2 cdot xraizx^2 + y^2 = 14piepsilon0 lambda x , dy(x^2 + y^2)^3/2 do campo elétrico é:
Agora, vamos integrar de a . Mas como tende ao infinito, os limites serão de a .

Passo 6

A integral fica:
Ex = lambda x4piepsilon0 integral-infty^infty dy(x^2 + y^2)^3/2
Essa integral é conhecida e seu resultado é:
integral-infty^infty dy(x^2 + y^2)^3/2 = 2x^2
Substituindo na expressão do campo elétrico:
Ex = lambda x4piepsilon0 cdot 2x^2 = lambda2piepsilon0 x

Resposta

O vetor campo elétrico no ponto E = lambda2piepsilon0 x i é:

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