Um disco de raio R0, está posicionado no plano cartesiano x y e possui uma carga com densidade superficial sigma. O centro do anel coincide com a origem do sistema de coordenadas. Determine o vetor campo elétrico no ponto P=(0,0, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um disco com raio posicionado no plano e carregado com uma densidade superficial de carga . Queremos descobrir qual é o vetor campo elétrico no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga contínua. Vamos precisar integrar a contribuição de cada pedacinho do disco para encontrar o campo total no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em anéis infinitesimais. Pense em um anel muito fino com raio dq = sigma cdot 2pi r , dr e espessura . Esse anel tem uma carga pequena que vamos calcular. Como a densidade superficial de carga é , a carga nesse anel é dada por:
Aqui, é o comprimento do anel, e multiplicando pela espessura e pela densidade , obtemos a carga .

Passo 3

Agora, precisamos achar o campo elétrico dEz = 14piepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + r^2)^3/2 gerado por esse anel no ponto . Pela simetria, sabemos que apenas a componente do campo na direção vai somar, já que as componentes radiais se cancelam. A fórmula para a componente do campo elétrico devido a um anel carregado é:
Aqui, é a permissividade do vácuo, e a expressão vem da lei de Coulomb aplicada a um anel de carga.

Passo 4

Substituindo dEz = sigma cdot 2pi r , dr cdot z4piepsilon0 (z^2 + r^2)^3/2 = sigma z r , dr2epsilon0 (z^2 + r^2)^3/2 na expressão de , temos:
Simplificamos os termos e reorganizamos a expressão para facilitar a integração.

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total Ez = integral0^R0 sigma z r , dr2epsilon0 (z^2 + r^2)^3/2 no ponto , precisamos integrar de até :
Essa integral nos dará a contribuição de todos os anéis que compõem o disco para o campo no ponto .

Passo 6

Resolvendo a integral, fazemos uma substituição Ez = sigma z2epsilon0 integralz^2^z^2 + R0^2 u^-3/2 cdot du2 = sigma z4epsilon0 [ -2u^-1/2 ]z^2^z^2 + R0^2 , então Ez = sigma z2epsilon0 ( 1raizz^2 - 1raizz^2 + R0^2 ) = sigma2epsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R0^2 ) . Isso simplifica a integral para:
Calculando os limites, temos:

Resposta

O vetor campo elétrico no ponto E = ( 0, 0, sigma2epsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R0^2 ) ) é dado por:

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