Desenhe as linhas de campo elétrico para, e use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico para: um fio fino infinito carregado com densidade uniforme linear .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um fio infinito e muito fino que está carregado com uma densidade de carga linear uniforme, representada por . O conteúdo que vamos usar aqui envolve campo elétrico e a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria. Para resolver esse problema, vamos precisar entender a simetria do sistema e escolher uma superfície gaussiana adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como são as linhas de campo elétrico para esse fio. Como o fio é infinito e a carga está distribuída uniformemente, a situação é simétrica e cilíndrica. Isso significa que as linhas de campo elétrico saem radialmente do fio em todas as direções perpendiculares a ele e não dependem da posição ao longo do fio. Imagina linhas saindo em círculos ao redor do fio, mantendo a mesma distância em qualquer ponto ao longo do comprimento do fio.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A Lei de Gauss é expressa pela fórmula:
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície gaussiana,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a constante de permitividade do vácuo.

Passo 4

Vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema. Para um fio infinito, a melhor escolha é um cilindro coaxial com o fio. Esse cilindro terá:
  • Raio (a distância do fio onde queremos encontrar o campo),
  • Comprimento .

Passo 5

Vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro e é perpendicular a ela. As tampas do cilindro (as bases) não contribuem para o fluxo porque o campo elétrico é paralelo a essas superfícies. Portanto, o fluxo total é:

Passo 6

A carga interna é a carga do fio dentro do cilindro gaussiano. Como a densidade de carga é (carga por unidade de comprimento) e o comprimento do cilindro é , então:

Passo 7

Substituindo os valores na Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
E isolando :

Resposta

O campo elétrico a uma distância do fio é dado por:

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