Uma barra fina isolante é dobrada formando um arco de circunferência de angulo , raio , com densidade linear de carga uniforme. Determine o campo elétrico no centro do arco. Resp.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina isolante que foi dobrada formando um arco de circunferência com um ângulo e raio . Essa barra tem uma densidade linear de carga que é uniforme ao longo do arco. O nosso objetivo é determinar o campo elétrico no centro desse arco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga curvilíneas. Vamos também utilizar a lei de Coulomb e integrar as contribuições de pequenas partes do arco para encontrar o campo total no centro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela lei de Coulomb:
Onde:
  • é a carga,
  • é a distância até o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é o vetor unitário na direção de ,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos uma distribuição contínua de carga ao longo do arco, precisamos integrar essas contribuições. Vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no arco. A densidade linear de carga nos diz que:
Onde é um pequeno segmento de comprimento do arco. Em termos do ângulo, temos .
Então:

Passo 4

Cada elemento gera um campo elétrico no centro do arco. Devido à simetria, as componentes horizontais (supondo que o arco está no plano XY e o centro em O) se cancelam, e apenas as componentes verticais se somam.
A componente vertical de é:
Mas aqui, é o ângulo em relação ao eixo central, então para cada , o ângulo vai de a .

Passo 5

Substituindo na expressão de , temos:
Aqui, cancelamos um no numerador e denominador.

Passo 6

Agora, para encontrar o campo elétrico total , integramos de a :

Passo 7

Integrando :
Como , simplificamos:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

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