Uma barra fina isolante é dobrada formando um arco de circunferência de angulo theta0, raio a, com densidade linear de carga lambda uniforme. Determine o campo elétrico E no centro do arco. Resp. E=lambda sen(theta0 / 2) / 2 pi varepsilon0 a

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina isolante que foi dobrada formando um arco de circunferência com um ângulo theta0 e raio a. Essa barra tem uma densidade linear de carga lambda que é uniforme ao longo do arco. O nosso objetivo é determinar o campo elétrico E no centro desse arco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga curvilíneas. Vamos também utilizar a lei de Coulomb e integrar as contribuições de pequenas partes do arco para encontrar o campo total no centro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela lei de Coulomb:
E = 14pivarepsilon0 qr^2 r
Onde:
  • q é a carga,
  • r é a distância até o ponto onde estamos calculando o campo,
  • r é o vetor unitário na direção de r,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos uma distribuição contínua de carga ao longo do arco, precisamos integrar essas contribuições. Vamos considerar um elemento infinitesimal de carga dq no arco. A densidade linear de carga nos diz que:
dq = lambda , ds
Onde ds é um pequeno segmento de comprimento do arco. Em termos do ângulo, temos ds = a , dtheta.
Então:
dq = lambda a , dtheta

Passo 4

Cada elemento dq gera um campo elétrico dE no centro do arco. Devido à simetria, as componentes horizontais (supondo que o arco está no plano XY e o centro em O) se cancelam, e apenas as componentes verticais se somam.
A componente vertical de dE é:
dE = dE sintheta
Mas aqui, theta é o ângulo em relação ao eixo central, então para cada dq, o ângulo vai de -theta0/2 a +theta0/2.

Passo 5

Substituindo dq na expressão de dE, temos:
dE = 14pivarepsilon0 lambda a , dthetaa^2 sintheta = lambda4pivarepsilon0 a sintheta , dtheta
Aqui, cancelamos um a no numerador e denominador.

Passo 6

Agora, para encontrar o campo elétrico total E, integramos dE de -theta0/2 a +theta0/2:
E = integral-theta0/2^+theta0/2 lambda4pivarepsilon0 a sintheta , dtheta

Passo 7

Integrando sintheta:
E = lambda4pivarepsilon0 a [ -costheta ]-theta0/2^+theta0/2 = lambda4pivarepsilon0 a ( -cos(theta02) + cos(-theta02) )
Como cos(-x) = cos(x), simplificamos:
E = lambda4pivarepsilon0 a ( -cos(theta02) + cos(theta02) ) = lambda4pivarepsilon0 a ( 2 sin(theta02) )

Passo 8

Simplificando a expressão:
E = lambda sin(theta02)2 pi varepsilon0 a

Resposta

E = lambda sin(theta02)2 pi varepsilon0 a

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