Uma barra fina isolante é dobrada formando um arco de circunferência de angulo
, raio
, com densidade linear de carga
uniforme. Determine o campo elétrico
no centro do arco. Resp.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina isolante que foi dobrada formando um arco de circunferência com um ângulo
e raio
. Essa barra tem uma densidade linear de carga
que é uniforme ao longo do arco. O nosso objetivo é determinar o campo elétrico
no centro desse arco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga curvilíneas. Vamos também utilizar a lei de Coulomb e integrar as contribuições de pequenas partes do arco para encontrar o campo total no centro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela lei de Coulomb:
Onde:
-
é a carga, -
é a distância até o ponto onde estamos calculando o campo, -
é o vetor unitário na direção de , -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como temos uma distribuição contínua de carga ao longo do arco, precisamos integrar essas contribuições. Vamos considerar um elemento infinitesimal de carga
no arco. A densidade linear de carga nos diz que:
Onde
é um pequeno segmento de comprimento do arco. Em termos do ângulo, temos
.
Então:
Passo 4
Cada elemento
gera um campo elétrico
no centro do arco. Devido à simetria, as componentes horizontais (supondo que o arco está no plano XY e o centro em O) se cancelam, e apenas as componentes verticais se somam.
A componente vertical de
é:
Mas aqui,
é o ângulo em relação ao eixo central, então para cada
, o ângulo vai de
a
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Aqui, cancelamos um
no numerador e denominador.
Passo 6
Agora, para encontrar o campo elétrico total
, integramos
de
a
:
Passo 7
Integrando
:
Como
, simplificamos:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
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