A função de onda de uma partícula que se move em uma dimensão entre duas paredes separadas por uma distância L é Psi(x)=A sen( pi x / L). Supondo que a partícula não pode deixar a região entre as paredes, qual é o valor de A?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que está presa entre duas paredes, separadas por uma distância $ L $. A função de onda dela é dada por $ \Psi(x) = A \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) $. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de $ A $, que é a constante de normalização dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar entre as paredes seja 100%.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a normalização. Em física quântica, a função de onda deve estar “normalizada”, ou seja, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço onde a partícula pode estar deve ser igual a 1. Isso representa a certeza de que a partícula está em algum lugar nesse espaço.
Matematicamente, isso fica assim:
integral0^L |Psi(x)|^2 , dx = 1

Passo 3

Vamos substituir $ \Psi(x) $ pela função que nos foi dada:
Psi(x)
Como $ A $ é uma constante, podemos tirá-la de fora da integral e lembrar que $ |A|^2 = A^2 $:
integral0^L |A sin(pi xL)|^2 , dx = 1

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral $ \int \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) , dx $. Existe uma identidade trigonométrica que facilita isso:
integral sin^2(pi xL) , dx
Aplicando essa identidade, temos:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2

Passo 5

Vamos separar a integral:
12 integral0^L 1 , dx - 12 integral0^L cos(2pi xL) , dx
Calculando cada parte:
  1. $ \frac{1}{2} \int_{0}^{L} 1 , dx = \frac{1}{2} [x]_{0}^{L} = \frac{L}{2} $
  2. $ \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) , dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{2\pi} \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right]_{0}^{L} = 0 $ (porque o seno de $ 2\pi $ e de 0 é zero)
Portanto, a integral total é $ \frac{L}{2} $.

Passo 6

Voltando à equação com $ A^2 $:
A^2
Para encontrar $ A $, vamos isolar ele:
A^2 cdot L2 = 1

Resposta

O valor de $ A $ é $ \sqrt{\dfrac{2}{L}} $.

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