A função de onda que descreve o estado de um elétron confinado ao eixo x é dada, no instante , por
Determine a probabilidade de que o elétron seja encontrado em uma região dx com centro em a) c) . d) Qual é a posição mais provável do elétron?

Passo 1

Vamos resolver um problema de física quântica onde queremos encontrar a probabilidade de um elétron estar em certos pontos ao longo do eixo x. A função de onda do elétron é dada por . Para resolver, vamos precisar entender funções de onda, probabilidades associadas a elas e um pouco de cálculo, principalmente integrais.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que a probabilidade de encontrar o elétron em uma região infinitesimal ao redor de um ponto é dada pelo quadrado da magnitude da função de onda, ou seja, , multiplicado por :

Passo 3

Vamos calcular . Dada a função de onda , temos:

Passo 4

Para encontrar a constante de normalização , precisamos garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o eixo x seja 1:
Substituindo na integral:

Passo 5

Sabemos que a integral de uma função gaussiana . Aplicando isso:

Passo 6

Agora que temos , podemos expressar completamente:

Passo 7

Para cada ponto específico ( , , ), vamos calcular a probabilidade usando a fórmula:

Passo 8

Vamos calcular para cada caso:
a) :
b) :
c) :

Passo 9

Resumindo as probabilidades:
a) :
b) :
c) :

Passo 10

Para encontrar a posição mais provável do elétron, observamos onde a função de probabilidade atinge seu valor máximo. Como a função é uma gaussiana centrada em , o valor máximo ocorre em .

Resposta

a) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região ao redor de é .
b) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região ao redor de é .
c) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região ao redor de é .
d) A posição mais provável do elétron é em .

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