A função de onda que descreve o estado de um elétron confinado ao eixo x é dada, no instante
, por
Determine a probabilidade de que o elétron seja encontrado em uma região dx com centro em a)
c)
. d) Qual é a posição mais provável do elétron?
Passo 1
Vamos resolver um problema de física quântica onde queremos encontrar a probabilidade de um elétron estar em certos pontos ao longo do eixo x. A função de onda do elétron é dada por
. Para resolver, vamos precisar entender funções de onda, probabilidades associadas a elas e um pouco de cálculo, principalmente integrais.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que a probabilidade de encontrar o elétron em uma região infinitesimal
ao redor de um ponto
é dada pelo quadrado da magnitude da função de onda, ou seja,
, multiplicado por
:
Passo 3
Vamos calcular
. Dada a função de onda
, temos:
Passo 4
Para encontrar a constante de normalização
, precisamos garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o eixo x seja 1:
Substituindo
na integral:
Passo 5
Sabemos que a integral de uma função gaussiana
. Aplicando isso:
Passo 6
Agora que temos
, podemos expressar
completamente:
Passo 7
Para cada ponto específico (
,
,
), vamos calcular a probabilidade
usando a fórmula:
Passo 8
Vamos calcular para cada caso:
a)
:
b)
:
c)
:
Passo 9
Resumindo as probabilidades:
a)
:
b)
:
c)
:
Passo 10
Para encontrar a posição mais provável do elétron, observamos onde a função de probabilidade
atinge seu valor máximo. Como a função é uma gaussiana centrada em
, o valor máximo ocorre em
.
Resposta
a) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região
ao redor de
é
.
b) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região
ao redor de
é
.
c) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região
ao redor de
é
.
d) A posição mais provável do elétron é em
.
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sen(
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