A função de onda que descreve o estado de um elétron confinado ao eixo x é dada, no instante t=0, por
Psi(x, 0)=A e^-x^2 / 4 sigma^2
Determine a probabilidade de que o elétron seja encontrado em uma região dx com centro em a) x=0 ; b) x=sigma ; c) x=2 sigma. d) Qual é a posição mais provável do elétron?

Passo 1

Vamos resolver um problema de física quântica onde queremos encontrar a probabilidade de um elétron estar em certos pontos ao longo do eixo x. A função de onda do elétron é dada por Psi(x, 0) = A e^-x^2/4sigma^2. Para resolver, vamos precisar entender funções de onda, probabilidades associadas a elas e um pouco de cálculo, principalmente integrais.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que a probabilidade de encontrar o elétron em uma região infinitesimal dx ao redor de um ponto x é dada pelo quadrado da magnitude da função de onda, ou seja, |Psi(x)|^2, multiplicado por dx:
P(x) = |Psi(x)|^2 dx

Passo 3

Vamos calcular |Psi(x)|^2. Dada a função de onda Psi(x, 0) = A e^-x^2/4sigma^2, temos:
|Psi(x)|^2 = Psi(x)^* Psi(x) = A^2 e^-x^2/2sigma^2

Passo 4

Para encontrar a constante de normalização A, precisamos garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o eixo x seja 1:
integral-infty^infty |Psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo |Psi(x)|^2 na integral:
A^2 integral-infty^infty e^-x^2/2sigma^2 dx = 1

Passo 5

Sabemos que a integral de uma função gaussiana integral-infty^infty e^-x^2/a^2 dx = a raizpi. Aplicando isso:
A^2 cdot sigma raiz2pi = 1 A^2 = 1sigma raiz2pi A = 1raizsigma raiz2pi

Passo 6

Agora que temos A, podemos expressar |Psi(x)|^2 completamente:
|Psi(x)|^2 = 1sigma raiz2pi e^-x^2/2sigma^2

Passo 7

Para cada ponto específico ( x=0, x=sigma, x=2sigma), vamos calcular a probabilidade P(x) usando a fórmula:
P(x) = 1sigma raiz2pi e^-x^2/2sigma^2 dx

Passo 8

Vamos calcular para cada caso:
a) x=0:
P(0) = 1sigma raiz2pi e^0 dx = 1sigma raiz2pi dx
b) x=sigma:
P(sigma) = 1sigma raiz2pi e^-sigma^2/2sigma^2 dx = 1sigma raiz2pi e^-1/2 dx approx 1sigma raiz2pi times 0,6065 , dx
c) x=2sigma:
P(2sigma) = 1sigma raiz2pi e^-(2sigma)^2/2sigma^2 dx = 1sigma raiz2pi e^-2 dx approx 1sigma raiz2pi times 0,1353 , dx

Passo 9

Resumindo as probabilidades:
a) x=0:
P(0) = 1sigma raiz2pi dx
b) x=sigma:
P(sigma) approx 0,6065sigma raiz2pi dx
c) x=2sigma:
P(2sigma) approx 0,1353sigma raiz2pi dx

Passo 10

Para encontrar a posição mais provável do elétron, observamos onde a função de probabilidade |Psi(x)|^2 atinge seu valor máximo. Como a função é uma gaussiana centrada em x=0, o valor máximo ocorre em x=0.

Resposta

a) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região dx ao redor de x=0 é 1sigma raiz2pi , dx.
b) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região dx ao redor de x=sigma é 0,6065sigma raiz2pi , dx.
c) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região dx ao redor de x=2sigma é 0,1353sigma raiz2pi , dx.
d) A posição mais provável do elétron é em x=0.

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