Duas ondas harmônicas se propagam simultaneamente em um fio comprido. As ondas podem ser descritas pelas funções y1=0,002 cos (8,0 x-400 t) e y2=0,002 cos (7,6 x-380 t), onde y e x estão em metros e t em segundos.
Calcule a distância De entre dois zeros sucessivos do pacote de ondas e determine essa distância em função de De

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas ondas harmônicas que estão viajando ao mesmo tempo em um fio longo. As equações das ondas são dadas por $ y_{1} = 0,002 \cos(8,0x - 400t) $ e $ y_{2} = 0,002 \cos(7,6x - 380t) $, onde $ y $ e $ x $ estão em metros e $ t $ em segundos. O que precisamos encontrar é a distância $ \Delta x $ entre dois zeros sucessivos do pacote de ondas e expressar essa distância em função de $ \Delta k $. Para isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e propriedades de ondas harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter duas ondas se propagando simultaneamente no mesmo fio. Quando isso acontece, as ondas se sobrepõem e formam um pacote de ondas. A posição dos zeros desse pacote são os pontos onde as duas ondas se cancelam mutuamente.
As equações das ondas são:
y1 = 0,002 cos(8,0x - 400t)
y2 = 0,002 cos(7,6x - 380t)
Aqui, $ 8,0 $ e $ 7,6 $ são os números de onda ($ k $) das respectivas ondas, e $ 400 $ e $ 380 $ são as frequências angulares ($ \omega $).

Passo 3

Para encontrar o pacote de ondas resultante, somamos $ y_{1} $ e $ y_{2} $:
y1
Podemos usar a fórmula de soma de cossenos:
y2
Aplicando isso às nossas ondas:
y = y1 + y2 = 0,002 cos(8,0x - 400t) + 0,002 cos(7,6x - 380t)
cos A + cos B = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)
y = 2 times 0,002 cos(8,0x + 7,6x - 400t - 380t2) cos(8,0x - 7,6x - 400t + 380t2)

Passo 4

Agora, observamos que o termo $ \cos(7,8x - 390t) $ representa a onda resultante de alta frequência, enquanto $ \cos(0,2x - 10t) $ atua como uma “envelope” que modula a amplitude da onda principal.
Os zeros do pacote de ondas acontecem quando o envelope $ \cos(0,2x - 10t) $ é igual a zero:
cos(7,8x - 390t)
Sabemos que o cosseno é zero quando seu argumento é um múltiplo ímpar de $ \frac{\pi}{2} $:
cos(0,2x - 10t)

Passo 5

Para encontrar a distância $ \Delta x $ entre dois zeros sucessivos, consideramos dois valores consecutivos de $ n $, digamos $ n $ e $ n+1 $:
De
n
Subtraindo a primeira equação da segunda:
n
n+1

Passo 6

Queremos expressar $ \Delta x $ em função de $ \Delta k Deçú \Delta k $) é:
De
Sabemos que a distância entre zeros está relacionada a $ \Delta k $ pela fórmula:
De
Substituindo $ \Delta k = 0,4 , m^{-1} $:
De

Resposta

A distância entre dois zeros sucessivos do pacote de ondas é $ \Delta x = 5\pi $ metros, e essa distância pode ser expressa em função de $ \Delta k $ pela relação $ \Delta x = \dfrac{2\pi}{\Delta k} $.

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