Duas ondas harmônicas se propagam simultaneamente em um fio comprido. As ondas podem ser descritas pelas funções
e
, onde y e
estão em metros e t em segundos.
Calcule a distância
entre dois zeros sucessivos do pacote de ondas e determine essa distância em função de
Calcule a distância
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas ondas harmônicas que estão viajando ao mesmo tempo em um fio longo. As equações das ondas são dadas por $ y_{1} = 0,002 \cos(8,0x - 400t) $ e $ y_{2} = 0,002 \cos(7,6x - 380t) $, onde $ y $ e $ x $ estão em metros e $ t $ em segundos. O que precisamos encontrar é a distância $ \Delta x $ entre dois zeros sucessivos do pacote de ondas e expressar essa distância em função de $ \Delta k $. Para isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e propriedades de ondas harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter duas ondas se propagando simultaneamente no mesmo fio. Quando isso acontece, as ondas se sobrepõem e formam um pacote de ondas. A posição dos zeros desse pacote são os pontos onde as duas ondas se cancelam mutuamente.
As equações das ondas são:
Aqui, $ 8,0 $ e $ 7,6 $ são os números de onda ($ k $) das respectivas ondas, e $ 400 $ e $ 380 $ são as frequências angulares ($ \omega $).
Passo 3
Para encontrar o pacote de ondas resultante, somamos $ y_{1} $ e $ y_{2} $:
Podemos usar a fórmula de soma de cossenos:
Aplicando isso às nossas ondas:
Passo 4
Agora, observamos que o termo $ \cos(7,8x - 390t) $ representa a onda resultante de alta frequência, enquanto $ \cos(0,2x - 10t) $ atua como uma “envelope” que modula a amplitude da onda principal.
Os zeros do pacote de ondas acontecem quando o envelope $ \cos(0,2x - 10t) $ é igual a zero:
Sabemos que o cosseno é zero quando seu argumento é um múltiplo ímpar de $ \frac{\pi}{2} $:
Passo 5
Para encontrar a distância $ \Delta x $ entre dois zeros sucessivos, consideramos dois valores consecutivos de $ n $, digamos $ n $ e $ n+1 $:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 6
Queremos expressar $ \Delta x $ em função de $ \Delta k
\Delta k $) é:
Sabemos que a distância entre zeros está relacionada a $ \Delta k $ pela fórmula:
Substituindo $ \Delta k = 0,4 , m^{-1} $:
Resposta
A distância entre dois zeros sucessivos do pacote de ondas é $ \Delta x = 5\pi $ metros, e essa distância pode ser expressa em função de $ \Delta k $ pela relação $ \Delta x = \dfrac{2\pi}{\Delta k} $.