Uma barra fina não condutora de comprimento l acha-se carregada uniformemente com uma carga total q. Mostre que o valor do campo elétrico numa distância y da barra sobre sua mediatriz é dado por: лоу

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina, que não conduz eletricidade, com comprimento total e carga total distribuída de forma uniforme. Precisamos encontrar o campo elétrico a uma distância da barra, na sua mediatriz (o ponto central perpendicularmente afastado da barra). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a ideia de superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear de carga da barra. Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade linear é:

Passo 3

Agora, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento na barra. A carga desse elemento é:

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga no ponto a uma distância na mediatriz pode ser calculado pela Lei de Coulomb:
Onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o campo, que, pelo teorema de Pitágoras, é:
Então:

Passo 5

Devido à simetria da barra, os componentes horizontais dos campos elétricos gerados por elementos simétricos em relação ao centro se cancelam. Portanto, só precisamos considerar o componente vertical de cada :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total , vamos integrar ao longo de toda a barra, ou seja, de até :

Passo 7

Vamos resolver essa integral. A integral de é conhecida e seu resultado é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Substituindo os limites:
Isso simplifica para:

Passo 9

Simplificando os termos:

Resposta

Assim, o campo elétrico a uma distância da barra na sua mediatriz é dado por:

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