Uma barra fina não condutora de comprimento l acha-se carregada uniformemente com uma carga total q. Mostre que o valor do campo elétrico numa distância y da barra sobre sua mediatriz é dado por: E=[q /(2 лоу )](+4 y 2)-1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina, que não conduz eletricidade, com comprimento total e carga total distribuída de forma uniforme. Precisamos encontrar o campo elétrico a uma distância da barra, na sua mediatriz (o ponto central perpendicularmente afastado da barra). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a ideia de superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear de carga da barra. Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade linear lambda = ql é:

Passo 3

Agora, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento dq = lambda , dx = ql , dx na barra. A carga desse elemento é:

Passo 4

O campo elétrico dE = 14piepsilon0 cdot dqr^2 gerado por esse pequeno elemento de carga no ponto a uma distância r = raizy^2 + x^2 na mediatriz pode ser calculado pela Lei de Coulomb:
dE = 14piepsilon0 cdot ql , dxy^2 + x^2
Onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o campo, que, pelo teorema de Pitágoras, é:
Então:

Passo 5

Devido à simetria da barra, os componentes horizontais dos campos elétricos gerados por elementos simétricos em relação ao centro se cancelam. Portanto, só precisamos considerar o componente vertical dEy = dE cdot yr = 14piepsilon0 cdot ql , dxy^2 + x^2 cdot yraizy^2 + x^2 de cada dEy = q , y4piepsilon0 l cdot dx(y^2 + x^2)^3/2 :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total E = integral-l2^l2 q , y4piepsilon0 l cdot dx(y^2 + x^2)^3/2 , vamos integrar ao longo de toda a barra, ou seja, de até :

Passo 7

Vamos resolver essa integral. A integral de integral dx(y^2 + x^2)^3/2 = xy^2 raizy^2 + x^2 é conhecida e seu resultado é:
E = q , y4piepsilon0 l [ xy^2 raizy^2 + x^2 ]-l2^l2
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Substituindo os limites:
E = q , y4piepsilon0 l ( l2y^2 raizy^2 + (l2)^2 - -l2y^2 raizy^2 + (l2)^2 )
Isso simplifica para:
E = q , y4piepsilon0 l cdot ly^2 raizy^2 + (l2)^2 cdot 2

Passo 9

Simplificando os termos:
E = q , y4piepsilon0 l cdot 2ly^2 raizy^2 + (l2)^2 = q2piepsilon0 l cdot yy^2 + (l2)^2)^3/2

Resposta

Assim, o campo elétrico E = q2piepsilon0 l cdot y(y^2 + (l2)^2)^3/2 a uma distância da barra na sua mediatriz é dado por:

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